Somme des variables aléatoires tronquées normales

Supposons que j'ai variables aléatoires normales indépendantes$n$

$$X_1 \sim \mathrm{N}(\mu_1, \sigma_1^2)\\X_2 \sim \mathrm{N}(\mu_2, \sigma_2^2)\\\vdots\\X_n \sim \mathrm{N}(\mu_n, \sigma_n^2)$$

et . Comment pourrais-je caractériser la densité de si la distribution de chaque est tronquée à l'intérieur ? En d'autres termes, partir de distributions normales indépendantes , je échantillons qui ne se pas à moins de de chaque moyenne et je les additionne.$Y=X_1+X_2+\dotsm+X_n$$Y$$X_i$$(\mu_i - 2\sigma_i, \mu_i + 2\sigma_i)$$n$$2\sigma_i$

En ce moment, je fais cela avec le code R ci-dessous:

x_mu <- c(12, 18, 7)
x_sd <- c(1.5, 2, 0.8)
a <- x_mu - 2 * x_sd
b <- x_mu + 2 * x_sd

samples <- sapply(1:3, function(i) {
  return(rtruncnorm(100000, a[i], b[i], x_mu[i], x_sd[i]))
})

y <- rowSums(samples)

Existe-t-il une méthode pour générer directement la densité de ?$Y$

Vous pouvez utiliser l'approximation par les méthodes de point de selle, pour la somme des normales tronquées. Je ne donnerai pas les détails maintenant, vous pouvez consulter ma réponse à la somme générale des distributions Gamma pour obtenir des conseils. Ce dont nous avons besoin, c'est de trouver la fonction de génération de moment pour une normale tronquée, ce qui est facile. Je vais le faire ici pour une normale standard tronquée à$\pm 2$, qui a une densité

$$f(x) =\begin{cases} \frac1{C} \phi(x), & |x| \le 2 \\ 0, & |x| > 2 \end{cases}$$ où $C=\Phi(2) - \Phi(-2)$ ici $\phi(x), \Phi(x)$ sont respectivement la densité et le cdf pour une normale standard.

La fonction de génération de moment peut être calculée comme

$$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} M(t) = \E e^{tX}=\frac1{C}\int_{-2}^2 e^{tx} \phi(x)\; dx=\frac1{C}e^{\frac12 t^2} [\Phi(2-t)-\Phi(-2-t) ]$$ puis nous pouvons utiliser des approximations de point de selle.

Je suis curieux de savoir pourquoi, mais oui, il existe un moyen simple de générer le pdf de cette somme de distributions:

## install.packages("truncnorm")
## install.packages("caTools")
library(truncnorm)

x.mu <- c(12, 18, 7)
x.sd <- c(1.5, 2, 0.8)
x.a <- x.mu - 2*x.sd
x.b <- x.mu + 2*x.sd

dmulti <- function(x, a, b, mu, sd)
  rowSums(
    sapply(1:length(mu),
           function(idx)
             dtruncnorm(x, a=a[idx], b=b[idx], mean=mu[idx], sd=sd[idx])))/length(mu)
pmulti <- function(q, a, b, mu, sd)
  rowSums(
    sapply(1:length(mu),
           function(idx)
             ptruncnorm(q, a=a[idx], b=b[idx], mean=mu[idx], sd=sd[idx])))/length(mu)

pointrange <- range(c(x.a, x.b))
pointseq <- seq(pointrange[1], pointrange[2], length.out=100)
## Plot the probability density function
plot(pointseq, dmulti(pointseq, x.a, x.b, x.mu, x.sd),
     type="l")

## Plot the cumulative distribution function
plot(pointseq, pmulti(pointseq, x.a, x.b, x.mu, x.sd),
     type="l")