Intégrer un CDF empirique

J'ai une distribution empirique . Je le calcule comme suit$G(x)$

    x <- seq(0, 1000, 0.1)
    g <- ecdf(var1)
    G <- g(x)

Je note , c'est-à-dire que h est le pdf tandis que G est le cdf.$h(x) = dG/dx$$h$$G$

Je veux maintenant résoudre une équation pour la limite supérieure d'intégration (disons, ), telle que la valeur attendue de x est de k .$a$$x$$k$

Autrement dit, en intégrant de à b , je devrais avoir ∫ x h ( x ) d x = k . Je veux résoudre pour b .$0$$b$$\int xh(x)dx = k$$b$

L'intégration par parties, je peux réécrire l'équation comme

, où l'intégrale est de 0 à b ------- (1)$bG(b) - \int_0^b G(x)dx = k$$0$$b$

Je pense que je peux calculer l'intégrale comme suit

    intgrl <- function(b) {
        z <- seq(0, b, 0.01)
        G <- g(z)
        return(mean(G))
     }

Mais quand j'essaie d'utiliser cette fonction avec

    library(rootSolve)
    root <- uniroot.All(fun, c(0, 1000))

où le plaisir est eq (1), j'obtiens l'erreur suivante

    Error in seq.default(0, b, by = 0.01) : 'to' must be of length 1  

Je pense que le problème est que ma fonction intgrlest évaluée à une valeur numérique, tout en uniroot.Allpassant l'intervallec(0,1000)

Comment dois-je résoudre pour dans cette situation dans R?$b$

Laissez les données triées soit . Pour comprendre le CDF G empirique , considérons l'une des valeurs de x i - appelons-le γ - et supposons qu'un certain nombre k des x i sont inférieurs à γ et t ≥ 1 des x i sont égaux à γ . Choisissez un intervalle [ α , β ] dans lequel, de toutes les valeurs de données possibles, seulement $x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n$$G$$x_i$$\gamma$$k$$x_i$$\gamma$$t \ge 1$$x_i$$\gamma$$[\alpha, \beta]$$\gamma$apparaît. Ensuite, par définition, dans cet intervalle a la valeur constante k / n pour les nombres inférieurs à γ et saute à la valeur constante ( k + t ) / n pour les nombres supérieurs à γ .$G$$k/n$$\gamma$$(k+t)/n$$\gamma$

Considérons la contribution à de l'intervalle [ α , β ] . Bien que h ne soit pas une fonction - c'est une mesure ponctuelle de la taille t / n à γ - l'intégrale est définie au moyen d'une intégration par parties pour la convertir en une intégrale honnête à la bonté. Faisons-le sur l'intervalle [ α , β ] :$\int_0^b x h(x) dx$$[\alpha,\beta]$$h$$t/n$$\gamma$$[\alpha,\beta]$

$$\int_\alpha^\beta x h(x) dx = \left(x G(x)\right)\vert_\alpha^\beta - \int_\alpha^\beta G(x) dx = \left(\beta G(\beta) - \alpha G(\alpha)\right) -\int_\alpha^\beta G(x) dx.$$

$\gamma$$G$

$$\int_\alpha^\beta G(x)dx = \int_\alpha^\gamma G(\alpha) dx + \int_\gamma^\beta G(\beta) dx = (\gamma-\alpha)G(\alpha) + (\beta-\gamma)G(\beta).$$

$G(\alpha)=k/n, G(\beta)=(k+t)/n$

$$\int_\alpha^\beta x h(x) dx = \left(\beta G(\beta) - \alpha G(\alpha)\right) - \left((\gamma-\alpha)G(\alpha) + (\beta-\gamma)G(\beta)\right) = \gamma\frac{t}{n}.$$

$X$

$$\frac{t}{n} = \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n}$$

$\gamma$$G$

$$\int_0^b x h(x) dx = \sum_{i:\, 0 \le x_i \le b} \left(x_i\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n}\sum_{x_i\le b}x_i.$$

$1/n$$[0,b]$$1/n$$1/m$$m$$[0,b]$

$k$$b$$\frac{1}{n}\sum_{x_i\le b}x_i = k.$$k$$j$

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{j-1} x_i \le k \lt \frac{1}{n}\sum_{i=1}^j x_i,$$

$b$$[x_{j-1}, x_j)$$b$

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Reffectue le calcul de somme partielle avec cumsumet trouve où il croise une valeur spécifiée à l'aide de la whichfamille de recherches, comme dans:

set.seed(17)
k <- 0.1
var1 <- round(rgamma(10, 1), 2)
x <- sort(var1)
x.partial <- cumsum(x) / length(x)
i <- which.max(x.partial > k)
cat("Upper limit lies between", x[i-1], "and", x[i])

La sortie dans cet exemple de données tirées iid d'une distribution exponentielle est

La limite supérieure se situe entre 0,39 et 0,57

$0.1 = \int_0^b x \exp(-x)dx,$$0.531812$

$G$