Comment trouver une densité à partir d'une fonction caractéristique?

Une distribution a la fonction caractéristique

ϕ (t) = (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4), - \infty < t < \infty

$\phi(t) = (1-t^2/2)\exp(-t^2/4),\ -\infty \lt t \lt \infty$

Montrez que la distribution est absolument continue et écrivez la fonction de densité de la distribution.

Tentative:

\int_{- \infty}^{\infty} | (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4) | ré t = (- 2 / t) (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4) - 2 \exp (- t^{2} / 4) |_{- \infty}^{0}

$\int_{-\infty}^{\infty}|(1-t^2/2)\exp(-t^2/4)|dt =(-2/t)(1-t^2/2)\exp(-t^2/4)-2\exp(-t^2/4)|_{-\infty}^{0}$

Résultat similaire pour $[0,\infty]$ depuis $t$ est au carré.

Je ne suis pas sûr d'avoir bien fait l'intégration, mais si je peux montrer que la valeur absolue de $\phi(t)$ est inférieur à $\infty$ , alors la fonction est absolument continue.

— statsguyz
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Utiliser ça

p (t) / \exp (t^{2}) \to 0

$p(t)/\exp(t^2)\to 0$ pour

t \to \pm \infty

$t\to \pm\infty$ pour tout polynôme

p

$p$ . Cela garantit que les deux queues sont intégrables.

— Stefan Hansen

Les fonctions de densité sont trouvées avec la transformée de Fourier inverse. La fonction de densité de la distribution, si une telle densité existe, sera donnée par

F (t) = \frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- je t X} ϕ (X) ré X = \frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- je t X} ((1 - X^{2} / 2) e^{- X^{2} / 4}) ré X .

$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\phi(x) dx = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\left((1-x^2/2)e^{-x^2/4}\right) dx .$

Cette intégrale peut être divisée en deux, chacune ayant une intégrale de la forme

\exp (- Q_{t} (X)) X^{2 k}

$\exp(-Q_t(x))x^{2k}$

où $Q_t$ est une forme quadratique avec un terme principal négatif et $k$ est un entier non négatif. Cela fait de chaque intégrateur une fonction Schwartz (décroissant rapidement) , assurant son intégrabilité pour tout $t$ . L'intégrabilité prouve qu'elle est continue ; la décroissance rapide prouve qu'elle est absolument continue. Les intégrales sont facilement réalisées en complétant le carré dans l'exponentielle, en les réduisant à des multiples de moments pairs de la distribution gaussienne. Le résultat est

F (t) = \frac{2}{\sqrt{π}} t^{2} e^{- t^{2}} .

$f(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} t^2 e^{-t^2}.$

La continuité de $f$ confirme la conclusion antérieure d'une continuité absolue de la distribution.

Terrain de f

Le carré de cette variable (symétrique) a un Gamma $(3/2, 1)$ Distribution.

Alternativement, on pourrait reconnaître que

ϕ (t) = - 2 (- \frac{1}{2} + \frac{t^{2}}{4}) e^{- t^{2} / 4} = (- je)^{2} \frac{{ré}^{2}}{ré t^{2}} 2 e^{- t^{2} / 4}

$\phi(t) = -2\left(-\frac{1}{2} + \frac{t^2}{4}\right)e^{-t^2/4} = (-i)^2\frac{d^2}{dt^2}2e^{-t^2/4}$

est proportionnelle à la dérivée seconde de la gaussienne $e^{-t^2/4}$ , impliquant (puisque l'opérateur $-id/dt$ sur les fonctions caractéristiques équivaut à la multiplication des fonctions de distribution par la variable) que la densité $f(x)$ existe et est proportionnelle à $x^2$ fois la densité dont le cf est $2e^{-t^2/4}$ . Cela est immédiatement reconnaissable comme une distribution gaussienne (normale) avec une densité proportionnelle à $e^{-x^2}$ . À ce stade, il suffit de déterminer la constante de normalisation de $2/\sqrt{\pi}$ via l'intégration ou en calculant la variance d'une distribution normale avec écart type $\sqrt{1/2}$ .

— whuber
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