Comment les pôles sont liés à la réponse en fréquence

Je suis récemment tombé dans l'erreur , considérant le pôle s = 1 car il y a une réponse infinie à la fréquence 1. Pourtant, la réponse n'était que de 1. Maintenant, pouvez-vous dériver la réponse en fréquence, étant donné les pôles?

Deuxièmement, la théorie dit qu'un système est stable lorsque les pôles sont dans le plan s gauche et, par conséquent, se désintègrent dans le temps. Mais attendez. Est-ce que «pôle» signifie la réponse infinie - la croissance dans le temps?

Enfin, est-ce une bonne question dans DSP? IMO, D signifie numérique tandis que le domaine s est analogique. Je ne trouve pas de balises de transformation s-plane ou Laplace pour étiqueter ma publication.

mise à jour Merci pour les réponses. Il semble que je l'ai, sauf la seule chose mineure mais fondamentale - la relation des pôles (et des zéros) avec la fréquence. Au fond, pourquoi (ou valeurs propres, comment appelez-vous le $s$ opérateur / variable) liée à la fréquence? Cela devrait être en quelque sorte lié à la croissance exponentielle et à la transformation de Laplace. Je comprends très bien que les pôles se trouvent être des valeurs propres (en particulier pour les récurrences discrètes). Mais, comment est-ce lié à la fréquence?

Je pense qu'il y a en fait 3 questions dans votre question:

Q1: Puis-je dériver la réponse en fréquence compte tenu des pôles d'un système (invariant dans le temps linéaire)?

Oui, vous pouvez, jusqu'à une constante. Si $s_{\infty,i}$ , $i=1,\ldots,N,$ sont les pôles de la fonction de transfert, vous pouvez écrire la fonction de transfert comme

$$H(s)=\frac{k}{(s-s_{\infty,1})(s-s_{\infty,2})\ldots (s-s_{\infty,N})}\tag{1}$$

Notez que $s$ est une variable complexe $s=\sigma+j\omega$ , et la variable de fréquence $\omega$ correspond à l'axe imaginaire du plan $s$ complexe . Maintenant, nous devons obtenir la réponse en fréquence de la fonction de transfert. Pour les systèmes stables, cela peut simplement être fait en évaluant la fonction de transfert $H(s)$ pour $s=j\omega$ . Vous remplacez donc $s$ par $j\omega$ dans (1) et vous avez terminé. Notez cependant que cela n'est vrai que pour les systèmes stables (c'est-à-dire si la région de convergence de $H(s)$ inclut l’axe$j\omega$ ).

Q2: Comment un système stable peut-il avoir des pôles?

Comme vous le savez déjà, pour les systèmes causaux et stables, tous les pôles doivent se trouver dans le demi-plan gauche du plan $s$ complexe . En effet, la valeur de la fonction de transfert $H(s)$ ira à l'infini à un pôle $s=s_{\infty}$ , mais la réponse en fréquence sera OK, car si tous les pôles sont dans le demi-plan gauche, il n'y a pas de pôles sur le $j\omega$ -axis (ou à sa droite). Si vous le regardez dans le domaine temporel, chaque pôle (simple) a une contribution de $e^{s_{\infty}t}$ à la réponse impulsionnelle du système. Si le pôle est situé dans le demi-plan gauche, cela signifie que $s_{\infty}=\sigma_{\infty}+j\omega_{\infty}$ a une partie réelle négative$\sigma_{\infty}<0$ . Donc

$$e^{s_{\infty}t}=e^{\sigma_{\infty}}e^{j\omega_{\infty}}$$

est une fonction exponentiellement amortie et ne croît pas mais décroît, car $\sigma_{\infty}<0$ .

Q3: Cette question appartient-elle ici?

Les autres membres de la communauté doivent juger si cette question appartient ici. Je pense que oui. Il n'est évidemment pas directement lié au DSP pur, mais les ingénieurs DSP doivent très souvent également traiter les signaux analogiques et les systèmes avant la conversion AD, de sorte qu'ils connaissent également la théorie des systèmes continus. Deuxièmement, presque toutes les personnes DSP (au moins celles ayant une formation traditionnelle) ont été assez exposées aux signaux généraux et à la théorie des systèmes, y compris les systèmes à temps continu et à temps discret.

Soit dit en passant, pour les systèmes à temps discret, vous obtenez la transformation $\mathcal{Z}$ au lieu de la transformation Laplace, et votre variable complexe est maintenant appelée $z$ au lieu de $s$ . La variable $D$ que vous avez mentionnée est définie comme $D=z^{-1}$ et est principalement utilisée dans la littérature de codage. Par sa définition, il désigne un élément de retard, donc $D$ signifie "retard" (pas "numérique").

Si vous savez que le demi-plan gauche du plan $s$ complexe correspond à la région à l'intérieur du cercle unité du plan $z$ complexe (c.-à-d. $|z|<1$ ), et que l' axe $j\omega$ correspond au cercle unité $|z|=1$ , alors presque tout ce que vous savez sur l'un des deux domaines sera facilement transféré sur l'autre domaine.

Une chose qui m'a vraiment aidé à comprendre les pôles et les zéros est de les visualiser comme des surfaces d'amplitude. Plusieurs de ces tracés se trouvent dans A Filter Primer . Quelques notes:

• Il est probablement plus facile d'apprendre d'abord le plan S analogique, puis après l'avoir compris, découvrez comment fonctionne le plan Z numérique.
• Un zéro est un point auquel le gain de la fonction de transfert est nul.
• Un pôle est un point où le gain de la fonction de transfert est infini.
• Il y a souvent des zéros ou des pôles à l'infini, qui ne sont pas toujours inclus dans les descriptions de la fonction de transfert, mais sont nécessaires pour la comprendre.
• La réponse en fréquence dans le plan S se produit uniquement le long de l'axe jω.
  • L'origine est 0 Hz, ou DC, et la fréquence de coupure des filtres augmente radialement loin de l'origine. Mettre un pôle à n'importe quel point le long d'un cercle à une certaine distance de l'origine produira la même fréquence de coupure.
  • Pour augmenter la fréquence de coupure d'un filtre, déplacez les pôles radialement vers l'extérieur.
  • Pour augmenter le Q d'un filtre biquad, déplacez les pôles le long du cercle vers l'axe jω, ce qui maintient la fréquence de coupure constante, mais augmente l'effet que le pôle a sur la réponse en fréquence, le rendant plus "pointu".
  • 
• Si un zéro apparaît sur l'axe jω, alors la réponse en fréquence tombera à zéro à cette fréquence; si vous entrez une onde sinusoïdale à cette fréquence, la sortie sera 0.
• Si un pôle apparaît sur l'axe jω, alors la réponse impulsionnelle est un oscillateur; toute impulsion le fera sonner pour toujours à cette fréquence. Les impulsions ont une énergie finie, mais la réponse du filtre a une énergie infinie, donc elle a un gain infini.

Un exemple simple est un intégrateur H (s) = 1 / s:

• Cette fonction est égale à 0 lorsque s est infini, elle a donc un zéro à l'infini.
• Cette fonction est égale à l'infini lorsque s est nul, elle a donc un pôle à zéro.

En d'autres termes, il a un gain infini à DC (la réponse en échelon d'un intégrateur est en constante augmentation), et le gain diminue à mesure que la fréquence augmente:

Éloigner le pôle de l'origine, le long de l'axe imaginaire dans la main gauche du plan S, rend à nouveau le gain à 0 Hz sur l'axe jw fini, et maintenant vous avez un filtre passe-bas:

Je ne dirai pas le mappage complet des pôles (1) / zéros (0) à la réponse en fréquence mais je pense que je peux expliquer le lien entre la fréquence et la réponse zéro / infinie, pourquoi avez-vous une réponse infinie / zéro à c'est -à- dire ce que e - j w a à voir avec z .$e^{-jw}=z_\text{zero/pole},$$e^{-jw}$$z$

La forme générale du système linéaire est ce qui peut être résolu en z-from comme Y ( z ) = ( b 0 + b 1 z +

$$y_n+a_1y_{n-1}+a_2y_{n-2}+\cdots = b_0 x_n + b_1x_{n-1}+b_2x_{n-2}+\cdots,$$ $$Y(z) = {(b_0 + b_1 z + b_2 z^2+\cdots)\over(1+a_1z+a_2z^2+\cdots)}X(z) = H(z)X(z) = {(1-z_0z)(1-z_1z)\cdots \over(1-p_0z)(1-p_1z)\cdots}X(z).$$

Au final, la série de produits binomiaux peut être considéré comme une série de systèmes, où la première sortie est l'entrée d'un autre.$(1-z_0 z)\cdots{1\over 1-p_0 z}$

Je voudrais analyser l'effet du monopôle et du zéro. Distinguons le premier zéro, en le considérant comme la fonction de transfert de sorte que le reste de soit le signal d'entrée, Y ( z ) = ( 1 - z 0 z ) Χ ( z ) , qui correspond à certains y n = b 0 x n + b 1 x n - 1 . Prenons b $H(z)X(z)$$Y(z)=(1-z_0z)Χ(z),$$y_n = b_0x_n + b_1x_{n-1}.$$b_0=b_1=1$$y_n = x_n + x_{n-1}$

$$x_n = e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} 1 + e^{jw}z + e^{2jw} z^2 + \cdots = 1/(1-e^{jw})= X(z).$$ $$y_n = x_n + x_{n-1}|_{x_n = e^{jwn}} = e^{jwn} + e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(1+e^{-jw})$$ $1+e^{-jw}$ is the transfer function or $Y(z) = {(1+z)\over (1-e^{jw}z)} =(1+z)X(z)$.

Please note that $1+z$ basically says that output is sum of input signal plus shifted signal, since single $z$ stands for single clock delay in time domain.

Now, as explained in, $H(jw) = 1 + e^{-jw} = e^{-jw/2}(e^{jw/2}+e^{-jw/2}) =e^{-jw/2}2\cos(w/2)$. Cosine makes it to behave like low-pass filter

$$\begin{cases} w=0 & \Rightarrow &H(j0) = 1\cdot 2 \cos (0) = 2\\ w=\pi & \Rightarrow & H(j\pi) = e^{j\pi/2}2\cos(\pi/2) = 0 \end{cases}$$

It is also a good lesson that you get $2 cos \alpha = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha}$ because you will supply the real signals rather than complex imaginary ones in real life.

LTI with impulse response = {1,-1} is $y_n=x_n -x_n|_{x_n=e^{jwn}} =e^{jwn}(1-e^{-jw})$ has transfer function of $H(jw) = (1-e^{-jw}) = e^{-jw/2}(e^{jw/2}-e^{-jw/2})=e^{-jw}2\sin(w/2)$, which has zero at $w=0$ since $sin(0)=0$ but it can be found from the frequency response

$$H(jw)=1-e^{-jw} = 0 \Rightarrow e^{-jw} = 1 = e^0 \Rightarrow w = 0.$$

After the textbooks, I can spot the surprising coincidence between transfer function $H(z) = 1\pm z$ and frequency response $H(jw)=1\pm e^{-jw}$. That is, z somehow corresponds to $e^{-jw}$, which is important for zero/pole analysis. I read it like

sine z-factor stands for a clock shift and $y_n = x_n \pm x_{n-1}=0$ means that next sample is $\pm$ previous one to get zero response, we need to have $1\pm z=0$ in front of X(z). But, the frequency domain basis functions $e^{jwn}$ evolve by multiplying current value $e^{jw(n-1)}$ with $e^{jw}$ every clock. Therefore, we have $e^{jwn}(1 \pm e^{-jw}) =0$ as condition for constant zero output. The latter $1\pm e^{-jw}$ matches perfectly with zero transfer function $1\pm z=0$.

In general, single-zero LTI is given by $y_n = b_0 x_n + b_1 x_{n-1}$ or

$$Y(z) = (b_0 + b_1 z)X(z) = (b_0+ b_1z)(1+x_1z+x_2z^2+\cdots) = b_0 + (b_0 x_1 + b_1 x_0)z + (b_0 x_2 + b_1 x_1)z^2 + \cdots.$$ When $b_0+b_1 z = 0$, i.e. when $z=-b_0/b_1,$ whereas frequency response is, $$y_n(x_n = e^{jwn}) = b_0 e^{jwn} + b_1 e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(b_0+b_1 e^{-jw})= e^{jwn}b_0(1-z_0 e^{-jw}),$$

which goes to zero when $1-z_0 e^{-jw} = 0$ or $e^{-jw} = 1/z_0$, which matches the computation for $z$ if $z=e^{-jw}$. The only thing that bothers me is that fixed-amplitude complex exponential is not enough for the frequency (harmonic) basis. You cannot obtain arbitrary ratio $1/z_0= e^{-jw}$ by choosing appropriate frequency $w$, a decaying harmonic signal is needed for that. That is weird because I have heard that any signal can be represented as sum of (constant amplitude) sines and cosines. But, anyway, we see that system zero stands for relationship between adjacent samples of input signal. When they are right, the output is identically 0 and we can choose such such frequency $w$ so that zero $z = 1/z_0 = e^{-jw}.$

Now, what about the poles? Let's single out a single pole $a$. The system has a from of $y_n = a y_{n-1} + (x_n + x_{n-1} + \cdots)$, under assumption $y_0 = 0$, has z-transform of $Y(z) = X(z)/(1-az)$.

The feedback $a$ is equivalent to infinite impulse response ${1,a,a^2,\ldots} \overset{z}{\leftrightarrow} 1 + az + a^2z^2 + \cdots = 1/(1-az)$. It says that response is infinite when $z=1/a$. What does it mean if we apply the test signal

$$x_n=e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} X(z) = 1+e^{jw}z+e^{2jw}z^2+\cdots = 1/(1-e^{jw}z)$$ to our system? We'll get $Y(z)={1\over 1-az}{1\over 1-e^{jw}z},$ or $$y_n = e^{jwn} + ae^{jw(n-1)} +a^2e^{jw(n-2)} +\cdots = e^{jwn}(1+ae^{-jw} + a^2e^{-2jw} + \cdots) ={e^{jwn}\over 1-ae^{-jw}}.$$ That is, frequency response is $1/(1-ae^{-jw}),$ which goes to infinity when $e^{-jw}=1/a,$ the same as $z_{pole}$ above, $e^{-jw}=z_{pole}=1/a$. But again, you can not always arrive at the pole $1/a$ adjusting the frequency $w$ alone. The frequency basis functions must be decaying amplitude in general and look like $(ke^{jw})^n$.

That is, zeroes or poles of the transfer function $H(z)$ happen to match the zeroes and poles of frequency response $H(jw)$, which is really amazing. I noticed that this is related to the relation between adjacent samples, $e^{jwn}/e^{jw(n-1)} = e^{jw} = 1/z_{zero}$ in case of zeroes. The fact that $e^{jwn}$ scales exponentially over time, along with the system with feedback $a$, also seems to be the key for matching between $e^{jw}$ and $z_{poles}$. It also seems important that you cannot simply look for the appropriate frequency of $e^{jwn}$, the basis function must also have adjustable amplitude factor $k^n$.

I would be happy if anybody could explain the same more condensely or more crisply.