Pourquoi l'ajout d'une version temporisée d'un signal à lui-même crée-t-il un signal filtré?

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On m'a posé cette question et je n'ai pas pu trouver une réponse sur place qui n'impliquait pas le domaine fréquentiel (essentiellement que les coefficients de la séquence de retard sont la réponse impulsionnelle d'un filtre FIR).

Quelqu'un at-il une idée qui rend ce processus «évident»?

filters

— Tom Kealy
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Lorsque vous retardez un signal de secondes et l'ajoutez au signal lui-même, vous annulez ou annulez la composante du signal à la fréquence $T$ Hz car cette composante du signal aura changé de phase exactement de: $\frac{1}{2T}$ $\pi$ Une chose similaire se produit à des multiples impairs de

\begin{aligned} \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} (t - T) + θ) & = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ - π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \cos (π) \\ - \cos (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \sin (π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - 0 \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}(t-T) + \theta\right) &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta - \pi\right)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) +\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\cos(\pi)\\ &\ \hspace{0.2in}-\cos\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\sin(\pi)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) -\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)-0\\ &= 0. \end{align}$

Hz également. Pour les fréquences proches, l'annulation n'est pas aussi complète, et bien sûr, à des multiples pairs de

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

Hz, la composante du signal est doublée de valeur au lieu d'être annulée. De même, si le signal retardé est réduit en amplitude, l'annulation n'est pas complète à

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

Hz etc.

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

Pour résumer, le signal est filtré car différentes fréquences sont transmises avec des gains différents.

$H(f)$

F [δ (t) + δ (t - T)] = 1 + \exp (- j 2 π f T)

$\mathcal F\left[\delta(t) + \delta(t-T)\right] = 1+\exp(-j2\pi fT)$

f

$f$

| H (f) |

$|H(f)|$

2

$2$

0

$0$

Y (f) = H (f) X (f)

$Y(f)=H(f)X(f)$

X (f)

$X(f)$

— Dilip Sarwate
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Désolé pour le retard - comment pourrais-je passer d'ici (que le filtrage est une interférence) à la nécessité que le filtrage soit une convolution des deux signaux? Je peux le voir (algébriquement) à partir de la somme de deux formules de cosinus, mais je ne comprends pas pourquoi.

— Tom Kealy

Veuillez expliquer ce que vous entendez par «le filtrage est une interférence». Je ne comprends pas du tout cette notion

— Dilip Sarwate

Eh bien, nous venons d'établir (ou avons-nous?) Que l'ajout de deux signaux avec des phases différentes équivaut à un filtrage avec un retard car les ondes interfèrent. Comment pourrais-je aller (dans le domaine temporel) de là à la convolution?

— Tom Kealy

x (t) + x (t - T) = y (t)

$x(t)+x(t-T) = y(t)$

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t)+\delta(t-T)$

x (t)

$x(t)$

y (t) = x ⋆ h = \int_{- \infty}^{\infty} x (t - u) h (u) d u = \int_{- \infty}^{\infty} x (t - u) [δ (u) + δ (u - T)] d u

$y(t) = x\star h = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)h(u)\,du = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)[\delta(u)+\delta(u-T)]\,du$

x (t) + x (t - T)

$x(t)+x(t-T)$

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$h(t)$

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t) + \delta(t-T)$

T

$T$

— Matt L.
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Si le retard de la version ajoutée retardée d'un signal est exactement un cycle de n'importe quel contenu périodique, alors la sortie sera augmentée de manière additive. Si le retard est exactement la moitié de la période de tout composant sinusoïdal, alors ce composant interférera de manière destructrice et sera donc mis à zéro sur la sortie. Si le retard est nul, le signal sera doublé. Pour les combinaisons fréquence / phase qui se situent entre une interférence destructrice complète ou une addition complète, le résultat additif sera également intermédiaire.

L'augmentation et la diminution de la sortie en fonction du contenu en fréquence de l'entrée est un filtrage typique.

— hotpaw2
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