Comment un filtre peut-il avoir un retard de groupe nul?

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Si vous passez un paquet d'onde dans la bande passante d'un filtre passe-bas de premier ordre, il sera retardé par le retard de groupe du filtre et restera la même amplitude, non?

Si vous passez le même paquet d'onde à travers un filtre passe-haut de premier ordre complémentaire avec la même fréquence de coupure, la courbe de retard de groupe est la même, donc le retard du paquet sera le même, mais le gain est beaucoup plus faible, donc il être à la fois retardé et atténué par la négligence.

Étant donné que la sortie du filtre passe-haut est très petite, si vous additionnez les sorties de ces deux filtres (comme dans un crossover audio), je m'attendrais à ce qu'il soit négligeable par rapport à la sortie du filtre passe-bas: grand signal retardé + très petit signal retardé = grand signal retardé.

Pourtant, si vous additionnez les réponses du filtre, l'amplitude est de 0 dB partout et la phase est nulle partout, et donc le retard de groupe devient 0, ce qui signifierait que le paquet d'onde sort sans retard et sans changement. Je ne comprends pas comment cela peut être possible. Les filtres ne subissent-ils pas toujours un retard? Comment un filtre (qui a également un retard de groupe positif) peut-il annuler le retard causé par l'autre canal, en particulier lorsque cela se produit dans la bande d'arrêt?

Quelle partie ai-je mal comprise ici?

Les types de croisement à phase linéaire les plus connus sont les croisements non inversés du premier ordre, ... Le croisement du premier ordre est la phase minimale lorsque ses sorties sont additionnées normalement; il a un tracé de phase plat à 0 °. - La conception de croisements actifs

et

Ici, le résultat de la sommation des sorties produit ensemble un déphasage de 0 °, c'est-à-dire que l'amplitude et le déphasage sommés d'un croisement de premier ordre équivalent à un morceau de fil. - Linkwitz-Riley Crossovers: A Primer: Réseaux de croisement de premier ordre

Réponse en fréquence de croisement de premier ordre

Les tests sur les impulsions réelles montrent comment le passe-bas (bleu) retarde l'impulsion, comme prévu, et comment le passe-haut (vert) peut se combiner avec lui pour produire l'impulsion d'origine (rouge), mais comment l'impulsion passe-haut se produit-elle avant l'original si le le filtre passe-haut est causal et a un retard de groupe positif? L'intuition me fait défaut.

entrez la description de l'image ici

Il ne montre que la sortie passe - haut est pas aussi négligeable que je l' imaginais, et le retard est plus négligeable que je l' imaginais, et que vous vous déplacez la fréquence porteuse autour, ces deux propriétés changent d'une manière proportionnelle (délai plus petit nécessite la sortie d'amplitude plus faible pour le corriger). Mais je ne le comprends toujours pas vraiment.

filters phase group-delay

— endolith
source

Donc, vous sous-entendez que les deux filtres sont appariés de telle sorte que leurs fonctions de transfert totalisent l'unité (c'est-à-dire

)? Cela impliquerait également que la somme de leurs réponses impulsionnelles n'est qu'une impulsion à

, ce qui correspondrait à votre observation d'un retard de groupe nul. Je pense que votre hypothèse selon laquelle la phase de la somme des deux filtres à zéro est probablement erronée.

H_{l p} (z) + H_{h p} (z) = 1

$H_{lp}(z) + H_{hp}(z) = 1$

n = 0

$n=0$

— Jason R

@JasonR: Oui, filtres de premier ordre, passe-haut et passe-bas, avec le même fc. en.wikipedia.org/wiki/Audio_crossover#First_order

— endolith

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@Jason: endolith est en effet correct. La passe hi / lo de premier ordre se reconstruit parfaitement en parallèle. Il y a d'autres cas qui le font aussi

— Hilmar

Désolé les gars; Je ne pensais qu'aux cascades de séries. Mépris.

— Jason R

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Il y a quelques aspects intéressants de la "reconstruction vers l'unité". Premièrement, il existe deux façons de combiner deux filtres: parallèle et en série. Pour une topologie parallèle, il est TOUJOURS possible de trouver un filtre complémentaire afin que les paires s'ajoutent à l'unité. C'est assez facile, en fait. Faites simplement $\tilde{H}(\omega) = 1-H(\omega)$ . Dans le domaine temporel, cela signifie que la réponse impulsionnelle du filtre complémentaire est simplement le négatif de la réponse impulsionnelle d'origine avec 1 ajouté au premier échantillon. Donc, tout ce qui est "ringard" est annulé. Maintenant, la forme de ce filtre complémentaire n'est pas toujours ce à quoi on pourrait s'attendre. Pour un passe-bas de premier ordre, il s'agit en fait d'un passe-haut de premier ordre, mais pour les filtres d'ordre supérieur, il a tendance à avoir des sur / sous-oscillations dans la région de coupure. Cependant, il existe toujours en tant que filtre causal stable.

La «reconstruction vers l'unité» en série (ou en cascade) est un peu plus compliquée. Évidemment, les filtres devraient être inverses les uns des autres, c'est-à-dire . En général, cela peut être fait pour tout filtre de phase minimum. L'inverse d'un filtre à phase minimale est également une phase minimale et les deux sont causaux et stables. $\tilde{H}(\omega) = \frac{1}{H(\omega)}$

Donc, cela nous laisse avec la question de savoir comment interpréter le retard de groupe dans ces cas. Le cas en cascade est en fait le plus intéressant. Comme les filtres sont inverses les uns des autres, la phase, et donc le retard de groupe, de l'un est le négatif de l'autre. Donc, aux fréquences où un filtre a un retard de groupe positif, l'autre a un retard de groupe négatif. Un exemple simple serait une étagère basse avec + 6 dB de gain et une étagère basse avec 6 dB de coupe. Les retards de groupe négatifs sont donc bien réels et ne constituent certainement pas une violation de la causalité. En pratique, ceux-ci apparaissent dans des zones du filtre qui sont assez "non plates", donc l'interprétation traditionnelle du "retard de l'enveloppe" ne s'applique pas tout à fait car il y a également une bonne quantité de distorsion d'amplitude.

Si vous Google "retard de groupe négatif", vous pouvez trouver quelques articles IEEE qui ont abordé le sujet.

— Hilmar
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D'accord, mais la partie qui prête à confusion est que les deux filtres ont un retard de groupe positif , mais se combinent pour produire une sortie avec un retard de groupe nul.

— endolith

3

N'oubliez pas que le retard de groupe est la dérivée (négative) de la phase. Pour une cascade parallèle, les phases des deux systèmes ne s'ajoutent pas, comme elles le feraient dans une connexion série. Par conséquent, nous ne devrions pas nous attendre à ce que les retards de groupe des deux systèmes s'ajoutent non plus.

— Jason R

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Voici une autre façon de penser. Le délai de groupe est le même, mais les parties retardées sont déphasées, elles s'annulent donc.

— Hilmar

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Il n'y a pas d'application incorrecte du retard de groupe ni de violation de la physique ou de causalité dans ce problème. La définition du retard de groupe comme dérivée négative de la phase par rapport à la fréquence est toujours valable, en ce que chaque filtre à lui seul a un retard positif qui n'est pas constant sur la fréquence. Les détails sont révélés dans ce qui se passe lorsque les filtres sont connectés en parallèle ou en série.

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$A_1 e^{j\phi_1}$ $A_1(\omega)e^{j\phi_1(\omega)}$

Considérons le premier cas à la lumière de la question du PO. Au croisement, chaque filtre a une amplitude et une phase données par:

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2} + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

Et à la fréquence la plus élevée, chaque filtre a une amplitude et une phase données comme:

$\rightarrow \infty$ $1e^{j0}$

$\rightarrow \infty$ $0e^{-j\pi}$

$-\pi$ $\infty$

Ce qui se passe entre les deux nécessite une relation mathématique spéciale entre les deux filtres pour que la combinaison parallèle se résume à une phase nulle (et donc un retard de groupe nul, ce qui rend essentiellement la combinaison parallèle également transparente). Prenons l'exemple de l'OP où nous pouvons clairement voir qu'il existe une relation en quadrature dans la phase des deux filtres. Nous avons donc:

A_{1} e^{j ϕ_{1}} + A_{2} e^{j ϕ_{2}}

$A_1e^{j\phi_1} + A_2e^{j\phi_2}$

= A_{1} e^{j ϕ_{1}} + A_{2} e^{j (ϕ_{1} - π / 2})

$=A_1e^{j\phi_1} + A_2e^{j(\phi_1 - \pi/2})$

= A_{1} e^{j ϕ_{1}} + A_{2} e^{- j π / 2} e^{j ϕ_{1}}

$=A_1e^{j\phi_1} + A_2e^{-j\pi/2}e^{j\phi_1}$

= A_{1} e^{j ϕ_{1}} - A_{2} j e^{j ϕ_{1}}

$=A_1e^{j\phi_1} - A_2je^{j\phi_1}$

= e^{j ϕ_{1}} (A_{1} - j A_{2})

$=e^{j\phi_1}(A_1-jA_2)$

Pour que ce résultat ait toujours une phase nulle pour toutes les fréquences, l'égalité suivante doit être respectée:

A_{1} - j A_{2} = e^{- j ϕ_{1}}

$A_1-jA_2 = e^{-j\phi_1}$

Ou encore décrit comme:

A_{1} + j A_{2} = e^{j ϕ_{1}}

$A_1+jA_2 = e^{j\phi_1}$

$\phi_1$ $A_1 = cos(\phi_1)$ $A_2 = sin(\phi_1)$ $\phi_1$

En ce qui concerne une éventuelle intuition avec le tracé final que l'OP a montré et sa question, considérez que la dérivée est une fonction passe-haut - si vous preniez la dérivée de l'impulsion rouge, vous obtiendriez l'impulsion verte en conséquence. Vous ne pouvez pas commencer à obtenir ce résultat tant que le pouls rouge n'est pas présent, il n'y a donc pas de violation de la causalité.

— Dan Boschen
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Je pensais que c'était une question plutôt intéressante, donc j'essaierai d'y répondre, bien qu'avec 5 ans de retard.

Je pense que vous avez découvert un moyen de mal appliquer l'une des façons de mesurer le retard de groupe, c'est-à-dire de le calculer comme la dérivée négative de la phase. Dans cette situation, cette méthode n'est pas appropriée.

Dans cette situation, une façon plus appropriée de mesurer le retard de groupe consiste à utiliser une entrée d'onde sinusoïdale et à mesurer le retard entre l'entrée et la sortie sommée. Bien sûr, pour obtenir une image complète, vous devrez effectuer un balayage de fréquence, ce qui est compliqué mais précis.

Si vous faites cela, je pense que nous pouvons tous convenir que vous mesurerez un retard de groupe différent de zéro.

— user5108_Dan
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Désolé, ce n'est pas correct. Le retard de groupe est défini comme la dérivée négative de la phase en fonction de la fréquence. C'est la définition et en tant que telle ne peut pas être "mal appliquée". Ce que vous décrivez mesurerait en fait le retard de phase, pas le retard de groupe. Dans le cas d'un filtre passe-bas et passe-haut du premier ordre en cascade, les résultats seraient les mêmes. Le retard de groupe et le retard de phase sont tous les deux nuls à toutes les fréquences.

— Hilmar

2 π / f

$2\pi / f$

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f / ω

$f/\omega$

\partial f / \partial ω

$\partial f/ \partial \omega$

f / ω

$f/\omega$

1 / (2 π)

$1/(2\pi)$

ω = 2 \cdot π \cdot f

$\omega = 2 \cdot \pi \cdot f$

0

Le retard de groupe est lié au groupe, c'est-à-dire le signal modulé. La mesure du retard de groupe doit donc être effectuée à l'aide du groupe (signal modulé). Le groupe entrant dans le filtre doit être le même en ce qui concerne sa forme à la sortie du filtre. La forme signifie par exemple le spectre du groupe. Les mesures effectuées à une seule fréquence ne portent aucune information sur le retard de groupe.

— zbyszek
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Je ne pense pas que ce soit exact. Le retard de groupe est la mesure de la pente de la réponse de phase à une fréquence donnée. Nous calculons le retard de groupe à chaque fréquence, et sur une bande passante, nous utilisons la "variation de retard de groupe" pour spécifier dans quelle mesure le retard de groupe variera sur une bande passante d'intérêt. Nous avons bien sûr besoin d'une gamme de fréquences pour calculer la dérivée de la phase, mais ma compréhension est que le retard calculé basé sur la prise de la dérivée de la phase par rapport à la fréquence est en effet le retard que vous mesureriez pour les ondes sinusoïdales simples à chacune de ces fréquences.

— Dan Boschen

1

Le retard de groupe est DÉFINI comme la dérivée négative de la phase vs la fréquence. Tant que vous mesurez cela, peu importe exactement comment vous le mesurez et les résultats seront les mêmes. Le retard de groupe peut être INTERPRÉTÉ comme le retard d'enveloppe des signaux modulés à bande étroite, mais la validité de l'interprétation dépend beaucoup des circonstances exactes.

— Hilmar