Quelle est la différence entre la transformée en ondelettes de Gabor-Morlet et la transformée en Q constant?

En un coup d'œil, la transformée de Fourier à Q constant et la transformée en ondelettes de Gabor-Morlet semblent identiques. Les deux sont des représentations temps-fréquence, basées sur des filtres à Q constant, des sinusoïdes fenêtrées, etc. Mais peut-être y a-t-il une différence qui me manque?

La boîte à outils de transformation Constant-Q pour le traitement de la musique dit:

CQT se réfère à une représentation temps-fréquence où les cases de fréquence sont géométriquement espacées et les facteurs Q (rapports des fréquences centrales aux largeurs de bande) de toutes les cases sont égaux.

L'analyse temporelle dit:

Autrement dit, le calcul du CWT d'un signal en utilisant l'ondelette de Morlet est le même que le passage du signal à travers une série de filtres passe - bande centré sur $f = \frac{5/2\pi}{a}$ avec Q constant de $5/2\pi$ .

— endolith
source

Réponses:

En termes simples, la transformation const-Q et la transformation en ondelettes de Gabor-Morlet ne sont que des transformées en ondelettes continues. Ou, plus précisément, leurs approximations, car il y aura toujours des problèmes de discrétisation dans les applications réelles.

Une propriété des transformées en ondelettes est qu'elles ont construit dans la propriété constante de facteur Q, ou en d'autres termes mise à l'échelle logarithmique. Gabor et Morlet ne sont que deux noms d'une fonction d'ondelettes particulière (exponentielles complexes avec une fenêtre gaussienne) qui est la plus utilisée. La transformation CQ utilise simplement une autre fonction de base / ondelette et a un nom spécial qui lui est attaché, probablement pour une raison historique.

— André Bergner
source

Il est important de noter que les différentes ondelettes qui ont été développées offrent différentes décompositions des signaux qu'elles sont utilisées pour étudier. Des ondelettes spécifiques sont choisies pour révéler des caractéristiques de signal spécifiques d'une manière particulière. Lorsque vous calculez des coefficients d'ondelettes, vous effectuez une corrélation de l'ondelette choisie avec le signal d'intérêt; ainsi la forme de l'ondelette détermine la forme des caractéristiques du signal qui sont révélées.

Certaines fonctions d'ondelettes ont été "conçues" pour fournir des décompositions qui peuvent se rapporter aux décompositions de Fourier (en fait plus conformes aux décompositions de Fourier à court terme utilisées pour produire des spectrogrammes de signaux). L'ondelette de Morlet est un bon exemple d'une telle fonction d'ondelettes. D'autres ondelettes ont été "conçues" pour identifier les discontinuités ou les bords des signaux. J'ai vu des articles qui utilisent les fonctions wevelet de Daubechies pour cela.

Il peut être utile de faire des recherches pour voir comment chacune des fonctions d'ondelettes que vous avez mentionnées est utilisée dans la pratique. Je pense que cela vous donnera une meilleure compréhension de la façon dont différentes ondelettes diffèrent.

— user2718
source

Cependant, la question concerne spécifiquement l'ondelette de Morlet et sa relation avec la transformée Q constante, qui est également un type de décomposition de Fourier. Y a-t-il une différence entre eux, ou s'agit-il de réinventions de la même chose? J'ai également trouvé "l'algorithme à point fixe par octave (FPPO)" qui "utilise une fenêtre de temps de mesure qui varie en fonction de la fréquence, en utilisant une longue fenêtre de temps à basses fréquences (pour une résolution de fréquence étroite) et une plus courte successivement fenêtre temporelle à hautes fréquences " rationalacoustics.com/files/FFT_Fundamentals.pdf

— endolith

J'ai posté un commentaire spécifique concernant la question. Mon autre article visait à encourager l'affiche à comprendre comment les transformées en ondelettes sont uniques et pourquoi il est logique de développer des transformées basées sur différentes fonctions d'ondelettes.

— user2718

"Y a-t-il une différence entre eux, ou s'agit-il de réinventions de la même chose?" Ils sont différents. Le fondement des méthodes de Fourier est basé sur les fonctions sinusales et n'a pas de résolution d'échelle de temps. Les versions fenêtrées de la transformée de Fourier approchent ce qui est fait avec les ondelettes. Les transformées en ondelettes sont fondées sur des fonctions de base compactes et la transformation est une représentation temps / échelle plutôt qu'une représentation temps / fréquence. Certaines fonctions d'ondelettes imitent les méthodes de Fourier par conception, mais ce n'est pas une exigence.

— user2718

La transformée Q constante n'est pas une transformée en ondelettes. La transformée Q constante est une variation particulière de la transformée de Fourier à court terme dans laquelle les intervalles de fréquence sont espacés de manière exponentielle au lieu d'être espacés linéairement comme c'est le cas avec la transformée de Fourier discrète.

Voir: http://en.wikipedia.org/wiki/Constant_Q_transform pour plus de détails.

Certaines transformées en ondelettes sont également considérées comme des transformées Q constantes car dans les versions discrètes des transformées, l'échelle de l'ondelette varie de façon exponentielle (la base étant 2 dans ce cas). Selon l'article suivant de l'université de Stanford ( https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Continuous_Wavelet_Transform.html ):

Lorsque l'ondelette mère peut être interprétée comme une sinusoïde fenêtrée (comme l'ondelette de Morlet), la transformée en ondelettes peut être interprétée comme une transformée de Fourier à Q constant.12.5 Avant la théorie des ondelettes, les transformées de Fourier à Q constant (telles que une banque de filtres classique de troisième octave) n'étaient pas faciles à inverser, car les signaux de base n'étaient pas orthogonaux. Voir l'annexe E pour une discussion connexe.

— user2718
source

"La transformée Q constante n'est pas une transformée en ondelettes." Comment?

— endolith

C'est probablement un peu un problème sémantique, mais la "transformée Q constante" s'est développée à partir de la transformée de Fourier à court terme, donc aucune fonction d'ondelettes n'est utilisée dans l'analyse. Elle est similaire à l'analyse en ondelettes en ce que les cases de fréquence sont espacées de façon exponentielle. Les transformées en ondelettes ne traitent pas spécifiquement de la fréquence. Les transformées en ondelettes ne traitent que de l'échelle. La combinaison de l'échelle et de la fonction d'ondelettes peut être liée à la fréquence, mais les deux choses ne sont pas identiques.

— user2718

D'après ce que j'ai lu, l'ondelette de Gabor-Morlet a été la première transformée en ondelettes continue et s'est concentrée sur la fréquence, pas sur l'échelle, car elle était dérivée de la transformée de Gabor, qui est une transformée de Fourier fenêtrée. En ignorant les différences sémantiques, y a-t-il une différence dans la façon dont le CQT et le Morlet WT sont calculés?

— endolith

N'est-ce pas mathématiquement équivalent, en supposant que la fonction de fenêtre est la même et que l'ondelette est faite à partir d'une exponentielle complexe?

— endolith

Je pense que vous pouvez arranger une transformée de Fourier fenêtrée équivalente à une transformée en ondelettes. Typiquement, dans l'application de la transformation Q constante, la fonction de fenêtre n'est pas choisie pour appliquer les conditions d'admissibilité requises des ondelettes, donc en général la transformation Q constante n'est pas la même qu'une transformation en ondelettes. Les conditions d'admissibilité pour les ondelettes garantissent que l'analyse est réversible (c'est-à-dire que vous pouvez reconstruire votre signal temporel à partir des résultats de la transformation), ce qui n'est généralement pas vrai pour la transformée Q constante.

— user2718