«La transformée de Fourier ne peut pas mesurer deux phases à la même fréquence.» Pourquoi pas?

J'ai lu que la transformée de Fourier ne peut pas distinguer des composants de même fréquence mais de phase différente. Par exemple, dans Mathoverflow ou xrayphysics , où j'ai obtenu le titre de ma question: "La transformée de Fourier ne peut pas mesurer deux phases à la même fréquence."

Pourquoi est-ce vrai mathématiquement?

C'est parce que la présence simultanée de deux signaux sinusoïdaux avec la même fréquence et des phases différentes est en réalité équivalente à une seule sinusoïdale à la même fréquence, mais avec une nouvelle phase et une nouvelle amplitude comme suit:

Soit les deux composantes sinusodiales résumées comme ceci:

Ensuite, à partir des manipulations trigionométriques, il peut être démontré que:

où

vous avez donc en fait une seule sinusoïdale (avec une nouvelle phase et amplitude), et donc rien à distinguer en effet ...

Si vous lisez plus loin, jusqu'à "La version simplifiée de la transformée de Fourier dont nous avons discuté ci-dessus ne peut pas tenir compte des changements de phase - comment la transformée de Fourier le fait-elle réellement?" vous noterez une explication légèrement meilleure, ils utilisent des sinus et des cosinus.

" Mathématiques des déphasages (facultatif) .

Pour voir comment un déphasage peut être décomposé en sinus et cosinus non décalés, nous avons besoin d'une identité trigonométrique: sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin ( b).

A * sin (2 * π * f * t + φ) = A * cos (φ) * sin (2 * π * f * t) + A * sin (φ) * cos (2 * π * f * t)

Comme vous pouvez le voir, le déphasage déplace une partie de l'amplitude (énergie) du signal sinusoïdal en un signal cosinusoïdal, mais la fréquence ne change pas. Si vous utilisez la représentation numérique complexe de la transformée de Fourier, le déphasage représente simplement une rotation de la valeur dans le plan complexe, avec une amplitude inchangée. Le fait que les déphasages ne font que déplacer l’amplitude du sinus au cosinus signifie que l’ajout de deux signaux de même fréquence et de phase différente donne un signal avec un déphasage global (moyen) à cette fréquence - et aucune mémoire des composants. ".

En pratique, c'est plus compliqué, voir " Techniques de Fourier partielles ", " Symétrie à conjugaison de phase " et " FOV et k-espace ". Dans " Intro to Phase-encoding - I ", ils expliquent:

"... lorsque deux ondes sinusoïdales (A et B) de même fréquence mais de phases différentes sont additionnées, le résultat est une autre onde sinusoïdale de même fréquence mais de phase différente. Lorsque les ondes sinusoïdales sont rapprochées en phase, elles sont constructives interfèrent, et lorsqu'ils sont déphasés, ils interfèrent de façon destructrice.

... En ne regardant que leur somme, vous voyez simplement une onde sinusoïdale d'une certaine fréquence et phase. Il est impossible de ce single observation de trier les contributions individuelles apportées par les vagues A et B.

Cependant, en faisant deux observations avec A et B décalées de phases différentes, il est possible de déterminer leurs contributions individuelles en ne regardant que leurs sommes. Ceci est illustré ci-dessous dans une image RM, où A et B sont deux pixels dans la même colonne verticale résonnant à la même fréquence codée (ω). Plus précisément, à l'étape 0 (ligne de base, quand aucun gradient de codage de phase n'a été appliqué), le signal total d'A&B peut être écrit ensemble: So (t) = A sin ωt + B sin ωt = (A + B) sin ωt.

...

De cette seule mesure de l'étape 1, nous ne connaissons toujours pas les amplitudes individuelles A et B, seulement leur différence (A − B). En utilisant les informations de l'étape 0 et de l'étape 1 ensemble, nous sommes en mesure d'extraire les contributions de signal uniques par une algèbre simple:

½ [So + S1] = ½ [(A + B) + (A − B)] = A    et    ½ [So - S1] = ½ [(A + B) - (A − B)] = B

".

Sinon, cela ressemblerait à ceci (image A):

PFI montrant des artefacts de divers algorithmes: (A) algorithme de base, (B) algorithme BAX, (C) algorithme de remplissage nul, (D) algorithme de base utilisant des données qui avaient une correction SDPS linéaire constante préalable, illustrant des artefacts de SDPS d'ordre supérieur.

$c\cos(\omega t+\phi)$$Re(ce^{(\omega t+\phi)i})$$Re$$c_1\cos(\omega t+\phi_1)+c_2\cos(\omega t+\phi_2)=Re(c_1e^{(\omega t+\phi_1)i}+c_2e^{(\omega t+\phi_2)i})$$ae^{\omega t i}$$Re(e^{\omega t i}(c_1e^{\phi_1i}+c_2e^{\phi_2i}))$$c e^{\phi i}$$c$$\phi$ . Et nous pouvons effectuer l'addition dans cet espace vectoriel: le vecteur représentant la somme est la somme des vecteurs représentant les sommets.

Ainsi, alors que les deux signaux affectent la magnitude de la sortie, un signal supplémentaire n'affectera pas l'emplacement dans l'espace des phases de la sortie.

Je voudrais emprunter le chemin d'une version géométrique de la question, en utilisant des sommes de cercles.

Sines et cosinus sont « juste » les parties réelles et imaginaires de cisoids, ou exponentielles complexes (quelques références se trouvent à Comment expliquer une exponentielle complexe intuitive? , Terrain Wiggle 3D pour un signal analytique: Heyser tire - bouchon / spirale , transformée de Fourier Identités ).

$s_{\omega,\phi}(t) = e^{2\pi i (\omega t+\phi)}$$\mathrm{Re}(s_{\omega,0}(t))=\cos(2\pi \omega t)$$\mathrm{Im}(s_{\omega,\pi/2}(t))=\cos(2\pi \omega t)$$\omega$

$a_1$$a_2$$e^{2 \pi i\phi_1}$$e^{2 \pi i\phi_2}$

$|a|<1$

et donc comme:

$(1+ae^{2\pi i\phi})$$\alpha e^{2\pi i\varphi}$$a$-Le cercle de rayon est comme une petite roue tournante attachée à la valve (comme les cercles bleu et rouge uniquement sur l'image ci-dessus). Et maintenant, nous regardons le mouvement d'un point sur le périmètre de la petite roue.

$1$$a$$\alpha$$\ref{a}$$\ref{b}$ .

En d'autres termes, ni une transformée de Fourier, ni un œil humain ne peuvent distinguer des composants de même fréquence mais de phase différente .

[[Je vais ajouter des animations si je trouve le temps]]