Choix de convention et de notation pour la transformée de Fourier?

Les définitions de la transformée de Fourier et de la transformée de Fourier inverse que j'ai apprises au collège étaient

F (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t

$F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t}\ dt$

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (j ω) e^{j ω t} d ω

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t} d\omega$

Les principales caractéristiques de cette convention sont:

Transformation non unitaire; les unités du domaine fréquentiel sont des radians (la variable est ) $\omega$
Les unités du "domaine temporel" sont dans le temps (la variable est ) $t$
Les transformations de fonction sont désignées par des majuscules ( vs. ) $F$ $f$
Le dans indique strictement que la fonction est une transformée de Fourier $j$ $F(j\omega)$
Et bien sûr, la convention EE habituelle qui . $j=\sqrt{-1}$

De nos jours, j'utilise une convention très différente, essentiellement celle utilisée sur les wikipédias :

\hat{f} (ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- j 2 π ξ x} d x

$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-j2\pi\xi x}dx$

f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ξ) e^{j 2 π ξ x} d ξ

$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{j2\pi\xi x} d\xi$ Les caractéristiques de cette convention sont

Transformation unitaire; les unités du domaine fréquentiel sont des fréquences normalisées (la variable est ) $\xi$
Les unités du "domaine temporel" sont sans unité (la variable est ) $x$
La fonction transforme les chapeaux ( vs. ) $\hat{f}$ $f$
Les variables de l'alphabet grec désignent les variables transformées de l'alphabet latin ( vs ) $\xi$ $x$

Je préfère grandement cette convention pour plusieurs raisons.

L'utilisation d'une convention unitaire augmente considérablement la symétrie et la clarté des duaux de Fourier: comparer
- $\mathrm{rect}(x)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\xi)$ ,
- $\mathrm{sinc}(x)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\xi)$ à
- $\mathrm{rect}(t)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\frac{\omega}{2\pi})$ ,
- $\mathrm{sinc}(t)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\frac{\omega}{2\pi})$ .
L'utilisation de au lieu de pour la variable "domaine temporel" rend les équations plus agnostiques du domaine problématique. Cela facilite beaucoup l'analogie des concepts de traitement d'image 2D en termes de concepts de traitement de signal 1D, sans la dissonance cognitive de l'utilisation de comme variable représentant la distance , ou sans avoir à changer de variable lors du passage d'un domaine à l'autre. $x$ $t$ $t$
Je trouve que les lettres majuscules sont plus utiles pour désigner des variables / fonctions à valeur discrète que pour représenter des fonctions transformées.
Utilisation du chapeau désigne plus clairement la transformée de Fourier comme un opérateur qui est appliqué à , où la fonction résultante accepte un paramètre de domaine de fréquence . Comparez cela à la beaucoup plus disgracieuse , la façon "traditionnelle" que j'ai apprise au collège pour désigner la transformée de Fourier en tant qu'opérateur, ce qui me semblait trop déroutant à l'époque ( vs vs etc.) $f$ $\xi$ $\mathcal{F}\{f\}$ $\mathcal{F}{f(t)}$ $\mathcal{F}\{f\}(t)$ $\mathcal{F}\{f\}(\omega)$
J'ai généralement constaté que l'analyse du traitement du signal avec des radians saupoudrait beaucoup plus de que je ne le pensais nécessaire. L'utilisation d'unités de fréquence normalisée est beaucoup plus logique pour moi, en particulier lorsque l'on travaille sur des problèmes impliquant la théorie de l'échantillonnage. $\pi$

Bien sûr, il serait assez vain de ma part de considérer mon choix de convention comme supérieur à celui utilisé par les autres. Mais j'ai du mal à trouver de bonnes raisons de préférer la convention que j'ai apprise à l'origine au collège (c'est-à-dire des raisons qui n'impliquent pas la tradition).

Actuellement, je peux penser à une raison décente de préférer la convention "traditionnelle": l'utilisation de la transformation non unitaire et de la notation des paramètres améliore considérablement la cohérence théorique avec la transformation de Laplace . De plus, les chapeaux peuvent être plus faciles à perdre / à confondre que les majuscules. $F(j\omega)$

Quelqu'un peut-il penser à d'autres raisons de préférer la convention "traditionnelle" (non unitaire)? Cette convention "traditionnelle" est-elle la même que ce que vous avez appris un cours de traitement du signal (si vous en avez suivi un)? Quelle convention préférez- vous ?

fourier-transform frequency

— rtollert
source

Les questions sollicitant des opinions personnelles ne sont pas vraiment constructives pour ce site. La réponse est que peu importe votre convention, tant que vous la définissez correctement, en l'utilisant de manière cohérente et dans de nombreux cas, vous vous en tenez à la notation commune utilisée dans votre domaine. L'important est de ne pas inventer de nouvelles notations folles pour être intentionnellement obtus. Je ne sais pas comment les préférences et les opinions personnelles sont utiles dans tout cela ...

— Lorem Ipsum

Je peux comprendre le désir d'éviter la simple opinion, mais je pense qu'il y a une question légitime de savoir pourquoi les conventions traditionnelles sont ce qu'elles sont: il est peu probable qu'elles ne soient définies que comme des accidents historiques. Je serais prêt à réécrire cette question pour éviter de solliciter des opinions, et à me concentrer sur la question de savoir comment ces décisions de convention / notation dans la littérature sur le traitement du signal sont apparues en premier lieu.

— rtollert

Vous avez oublié de remplacer tous les 2π par τ . : D

— endolith

@endolith Tu me devança :)

— datageist

Un endroit où la forme unitaire est souvent utilisée est dans les manuels de communication. Les ingénieurs en communication comme Hertz, donc transformant en est plus intuitif qu'en .

x (t)

$x(t)$

X (f)

$X(f)$

X (ω)

$X(\omega)$

— Jason R

Le choix de la convention doit être le plus approprié (ou familier) pour le public avec lequel vous essayez de communiquer.

— hotpaw2
source

Une chose à propos de l'utilisation de x (t) pour un signal est le parallèle entre

$y = x^2$

$y(t) = x(t)^2$

où x est toujours une entrée et y est toujours une sortie, dans ce cas, ce sont des signaux au lieu de nombres.

— endolith
source