Qu'entend-on par «réponse impulsionnelle» et «réponse en fréquence» d'un système?

Quelqu'un peut-il indiquer la différence entre la réponse en fréquence et la réponse impulsionnelle en anglais simple?

La réponse impulsionnelle et la réponse en fréquence sont deux attributs utiles pour caractériser les systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI) . Ils fournissent deux manières différentes de calculer ce que sera la sortie d'un système LTI pour un signal d'entrée donné. Un système LTI à temps continu est généralement illustré comme ceci:

En général, le système mappe son signal d'entrée sur un signal de sortie correspondant . Il existe de nombreux types de systèmes LTI pouvant appliquer des transformations très différentes aux signaux qui les traversent. Mais, ils partagent tous deux caractéristiques clés:$H$$x(t)$$y(t)$

• Le système est linéaire , il obéit donc au principe de superposition . En termes simples, si vous combinez de manière linéaire deux signaux et que vous les entrez dans le système, la sortie est la même combinaison linéaire de ce que les sorties auraient été si les signaux avaient été transmis individuellement. Autrement dit, si correspond à une sortie de et correspond à une sortie de , alors pour toutes les valeurs de et ,$x_1(t)$$y_1(t)$$x_2(t)$$y_2(t)$$a_1$$a_2$

$$H\{a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t)\} = a_1 y_1(t) + a_2 y_2(t)$$

• Le système étant invariant dans le temps , ses caractéristiques ne changent pas avec le temps. Si vous ajoutez un retard au signal d'entrée, vous ajoutez simplement le même retard à la sortie. Pour un signal d’entrée mappé sur un signal de sortie , pour toutes les valeurs de ,$x(t)$$y(t)$$\tau$

$$H\{x(t - \tau)\} = y(t - \tau)$$

Les systèmes LTI à temps discret ont les mêmes propriétés; la notation est différente en raison de la différence discrète / continue, mais elles se ressemblent beaucoup. Ces caractéristiques permettent de caractériser directement le fonctionnement du système à l'aide de ses réponses impulsionnelles et fréquentielles. Ils fournissent deux perspectives sur le système qui peuvent être utilisées dans différents contextes.

Réponse impulsive:

L' impulsion à laquelle il est fait référence dans le terme réponse impulsionnelle est généralement un signal dans le domaine temporel de courte durée. Pour les systèmes à temps continu, il s'agit de la fonction delta de Dirac , tandis que pour les systèmes à temps discret, la fonction delta de Kronecker est généralement utilisée. La réponse impulsionnelle d'un système (souvent désignée par pour les systèmes à temps continu ou pour les systèmes à temps discret) est définie comme le signal de sortie résultant de l'application d'une impulsion à l'entrée du système.$\delta(t)$ $\delta[n]$$h(t)$$h[n]$

Pourquoi est-ce utile? Cela nous permet de prédire à quoi ressemblera la sortie du système dans le domaine temporel. Rappelez-vous les propriétés de linéarité et d'invariance dans le temps mentionnées ci-dessus? Si nous pouvons décomposer le signal d'entrée du système en une somme de plusieurs composants, la sortie est égale à la somme des sorties du système pour chacune de ces composantes. Et si nous pouvions décomposer notre signal d'entrée en une somme d'impulsions mises à l'échelle et décalées dans le temps? La sortie serait alors égale à la somme des copies de la réponse impulsionnelle, mise à l'échelle et décalée dans le temps de la même manière.

Pour les systèmes à temps discret, cela est possible car vous pouvez écrire n’importe quel signal tant que somme des fonctions delta de Kronecker mises à l’échelle et décalées dans le temps:$x[n]$

$$x[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] \delta[n - k]$$

Chaque terme de la somme est une impulsion mise à l'échelle par la valeur de à cet instant instantané. Que ferions-nous si nous passions travers un système LTI pour obtenir ? Simple: chaque impulsion échelonnée et retardée que nous avons introduite produit une copie échelonnée et différée de la réponse impulsionnelle à la sortie. C'est:$x[n]$$x[n]$$y[n]$

$$y[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] h[n-k]$$

où est la réponse impulsionnelle du système. L'équation ci-dessus est le théorème de convolution pour les systèmes LTI à temps discret. C'est-à-dire que pour tout signal entré dans un système LTI, la sortie du système est égale à la convolution discrète du signal d'entrée et à la réponse impulsionnelle du système.$h[n]$$x[n]$$y[n]$

Pour les systèmes à temps continu, la décomposition directe ci-dessus n'est pas possible au sens mathématique strict (le delta de Dirac a une largeur nulle et une hauteur infinie), mais au niveau technique, il s'agit d'une manière approximative et intuitive de voir le problème. Un théorème de convolution similaire est valable pour ces systèmes:

$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$$

où, encore, est la réponse impulsionnelle du système. Il existe plusieurs façons de dériver cette relation (je pense que vous pourriez avancer un argument similaire à celui décrit ci-dessus en affirmant que les fonctions de Dirac delta constituent une base orthogonale pour l’ espace Hilbert, en notant que vous pouvez utiliser le paramètre. La propriété tamisante de la fonction delta pour projeter toute fonction de sur cette base, vous permettant ainsi d'exprimer les sorties du système en termes de sorties associées à la base (par exemple, les réponses impulsionnelles décalées dans le temps), mais je ne suis pas un mathématicien agréé, alors je vais laisser ça de côté). Une méthode reposant uniquement sur les propriétés du système LTI susmentionnées est présentée ici .$h(t)$$L^2$$L^2$

En résumé: pour les systèmes à temps discret et continu, la réponse impulsionnelle est utile car elle permet de calculer la sortie de ces systèmes pour tout signal d'entrée; la sortie est simplement le signal d'entrée convolué avec la fonction de réponse impulsionnelle.

Fréquence de réponse:

La réponse en fréquence d’un système LTI offre une fonction similaire: elle vous permet de calculer l’effet qu’un système aura sur un signal d’entrée, à l’exception des effets illustrés dans le domaine fréquentiel . Rappelons la définition de la transformée de Fourier :

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$$

Plus important encore pour cette illustration, regardez son inverse:

$$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi ft} df$$

En substance, cette relation nous indique que tout signal de domaine temporel peut être divisé en une combinaison linéaire de nombreuses fonctions exponentielles complexes à des fréquences variables (il existe une relation analogue pour les signaux à temps discret appelée Fourier à temps discret). transformerai , je traite uniquement le cas continu ci - dessous pour plus de simplicité). Pour un signal de domaine temporel , la transformation de Fourier fournit une fonction correspondante qui spécifie, pour chaque fréquence , le facteur d'échelle à appliquer à l'exponentielle complexe à la fréquence$x(t)$$x(t)$$X(f)$$f$$f$dans la combinaison linéaire susmentionnée. Ces facteurs d'échelle sont en général des nombres complexes. Une façon de voir les nombres complexes est le format amplitude / phase, à savoir:

$$X(f) = A(f) e^{j \phi(f)}$$

En le regardant ainsi, peut être écrit comme une combinaison linéaire de nombreuses fonctions exponentielles complexes, chacune étant dimensionnée en amplitude par la fonction et décalée en phase par la fonction . Cela correspond bien aux propriétés du système LTI dont nous avons parlé précédemment; si nous pouvons décomposer notre signal d'entrée en une combinaison linéaire d'un groupe de fonctions exponentielles complexes, nous pouvons écrire la sortie du système sous la même combinaison linéaire de la réponse du système à ces fonctions exponentielles complexes.$x(t)$$A(f)$$\phi(f)$$x(t)$

Voici où cela s’améliore: les fonctions exponentielles sont les fonctions propres des systèmes linéaires invariants dans le temps. L'idée est la même que pour les vecteurs propres de l'algèbre linéaire: si vous insérez une fonction exponentielle dans un système LTI, vous obtenez la même fonction exponentielle, mise à l'échelle par une valeur (généralement complexe). Cela a pour effet de changer l'amplitude et la phase de la fonction exponentielle que vous avez insérée.

Ceci est extrêmement utile lorsqu'il est combiné à la décomposition basée sur la transformation de Fourier décrite ci-dessus. Comme nous l'avons dit précédemment, nous pouvons écrire n'importe quel signal sous la forme d'une combinaison linéaire de nombreuses fonctions exponentielles complexes à des fréquences variables. Si nous transmettons dans un système LTI, alors (étant donné que ces exponentielles sont des fonctions propres du système), la sortie contient des exponentielles complexes aux mêmes fréquences, uniquement mises à l'échelle en amplitude et décalées en phase. Ces effets sur les amplitudes et les phases des exponentielles, en fonction de la fréquence, constituent la réponse en fréquence du système . C'est-à-dire qu'un signal d'entrée de transformée de Fourier passé dans le système produise une sortie avec une transformée de Fourier$x(t)$$x(t)$$X(f)$$H$$Y(f)$,

$$Y(f) = H(f) X(f) = A(f) e^{j \phi(f)} X(f)$$

En résumé: si nous connaissons la réponse en fréquence d'un système et la transformée de Fourier du signal que nous y avons mis , il est alors simple de calculer la transformée de Fourier de la sortie du système; c'est simplement le produit de la réponse en fréquence et de la transformation du signal d'entrée. Pour chaque fréquence exponentielle complexe présente dans le spectre , le système a pour effet de mettre à l'échelle celle-ci de façon exponentielle en amplitude de et de décaler l'exponentielle de phase de radians.$H(f)$$X(f)$$X(f)$$A(f)$$\phi(f)$

En les réunissant:

La réponse impulsionnelle et la réponse en fréquence d'un système LTI sont intimement liées. La réponse en fréquence est simplement la transformation de Fourier de la réponse impulsionnelle du système (pour voir pourquoi cette relation est valable, voir les réponses à cette autre question ). Donc, pour un système à temps continu:

$$H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$$

Donc, étant donné soit la réponse impulsionnelle d’un système, soit sa réponse en fréquence, vous pouvez calculer l’autre. L’un ou l’autre suffit à caractériser complètement le comportement du système; la réponse impulsionnelle est utile lorsqu’on travaille dans le domaine temporel et la réponse en fréquence est utile lors de l’analyse du comportement dans le domaine fréquentiel.

Frappez un coup brusquement une fois et déterminez comment il réagit dans le domaine temporel (comme avec un oscilloscope ou un traceur à stylet). Ce sera proche de la réponse impulsionnelle.

Obtenez un générateur de tonalité et faites vibrer quelque chose avec des fréquences différentes. Certaines fréquences de résonance seront amplifiées. D'autres peuvent ne pas répondre du tout. Tracez la taille et la phase de la réponse par rapport à la fréquence d'entrée. Ce sera proche de la réponse en fréquence.

Pour certaines classes communes de systèmes (où le système ne change pas beaucoup au fil du temps et où toute non-linéarité est suffisamment petite pour être ignorée dans le but recherché), les deux réponses sont liées et une transformation de Laplace ou de Fourier peut être applicable. se rapprocher de la relation.

La réponse impulsionnelle est la réponse d'un système à une seule impulsion de durée infiniment petite et d'une énergie unitaire (une impulsion de Dirac). La réponse en fréquence indique dans quelle mesure chaque fréquence est atténuée ou amplifiée par le système.

La réponse en fréquence d'un système est la réponse impulsionnelle transformée dans le domaine fréquentiel. Si vous avez une réponse impulsionnelle, vous pouvez utiliser la FFT pour trouver la réponse en fréquence, et vous pouvez utiliser la FFT inverse pour passer d'une réponse en fréquence à une réponse impulsionnelle.

En bref, nous avons deux types de réponses de base: les réponses temporelles et les réponses fréquentielles . Les réponses temporelles testent le fonctionnement du système avec une perturbation momentanée, tandis que la réponse en fréquence le teste avec une perturbation continue. Les réponses temporelles contiennent des éléments tels que la réponse progressive, la réponse progressive et la réponse impulsionnelle . Les réponses en fréquence contiennent des réponses sinusoïdales .

Université Aalto a un certain matériel de cours Mat-2,4129 librement ici , plus pertinents probablement les fichiers Matlab parce que la plupart des choses en finnois. Si vous êtes plus intéressé, vous pouvez consulter les vidéos ci-dessous pour les vidéos d'introduction. Je les ai trouvés utiles moi-même.

Je n'ai qu'une connaissance très élémentaire des problèmes de LTI, je vais donc les aborder ci-dessous - mais il y a sûrement beaucoup plus de types de problèmes!

Réponses avec des problèmes linéaires invariants dans le temps

En cas de problème LTI (invariant linéaire dans le temps), l’entrée et la sortie doivent avoir la même forme: l’entrée sinusoïdale a une sortie sinusoïdale et, de la même manière, le résultat de l’entrée étape par étape dans la sortie étape. Si vous ne possédez pas de système LTI - disons que vous avez des informations en retour ou que votre contrôle / bruit et entrée sont corrélés - alors toutes les assertions ci-dessus peuvent être fausses. Avec LTI, vous obtiendrez deux types de changements: le déphasage et l’amplitude, mais la fréquence reste la même. Si vous cassez certaines hypothèses laissées avec une hypothèse de non-corrélation, l'entrée et la sortie peuvent avoir des formes très différentes.

Si vous devez rechercher si un système est LTI ou non, vous pouvez utiliser un outil tel que l'équation de Wiener-Hopf et l'analyse de corrélation. L'équation de Wiener-Hopf est utilisée avec des systèmes bruyants. Il est essentiel de valider les résultats et de vérifier les locaux, sinon il est facile de faire des erreurs avec des réponses différentes. Plus d'informations sur la détermination de la réponse impulsionnelle avec un système bruyant ici .

Références

1. Article Wikipedia sur LTI ici

2. Très bonnes vidéos d'introduction sur différentes réponses ici et ici - quelques points clés ci-dessous.