Quelle est la signification physique de la convolution de deux signaux?

50

Si nous convertissons 2 signaux, nous obtenons un troisième signal. Que représente ce troisième signal par rapport aux signaux d'entrée?

convolution

— p j
source

5

mathoverflow.net/questions/5892/what-is-convolution-intuitively

— Atul Ingle

1

C'est juste "inverser, décaler, multiplier et résumer", pas plus.

— Chaohuang

Il a le sens de "moyennage", en termes de traitement du signal, ce qui pourrait signifier la suppression des composantes haute fréquence.

— Giwrgos Rizeakos

3

J'ai la recherche d'une ressource qui explique la signification physique de convolution pour un certain temps maintenant et j'ai finalement trouvé ici: colah.github.io/posts/2014-07-Understanding-Convolutions

— faridghar

Considérons n’importe quel système physique ou mécanique, alors l’entrée dans le système est x (n), les paramètres que nous avons déjà définis est h (n). la fonction de travail pour que le système fonctionne est y (N) = x (N) * h (N) ex: considérons l'onde sinusoïdale comme entrée d'un multiplicateur fonctionne généralement avec autant de circuits analogiques, nous pouvons modifier les performances de l'appareil simplement en faisant varier les paramètres que nous passons sont h (n)

— utilisateur6151179

40

Il n'y a pas de signification "physique" à l'opération de convolution. En génie, la convolution est principalement utilisée pour décrire le résultat d’un système linéaire, invariant dans le temps (LTI) . Le comportement entrée-sortie d'un système LTI peut être caractérisé par sa réponse impulsionnelle . La sortie d'un système LTI pour tout signal d'entrée peut être exprimée sous forme de la convolution du signal d'entrée avec la réponse impulsionnelle du système. $x(t)$

À savoir, si le signal est appliqué à un système LTI avec une réponse impulsionnelle , le signal de sortie est: $x(t)$ $h(t)$

y (t) = X (t) * h (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (τ) h (t - τ) ré τ

$y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t - \tau)d\tau$

Comme je l'ai dit, il n'y a pas beaucoup d'interprétation physique, mais vous pouvez penser à une convolution qualitativement comme à "maculage" de l'énergie présente dans en quelque sorte, dans le temps, en fonction de la forme de la réponse impulsionnelle . Au niveau de l'ingénierie (des mathématiciens rigoureux n'approuveraient pas), vous pouvez obtenir un aperçu en examinant de plus près la structure de l'intégrant lui-même. Vous pouvez considérer la sortie comme la somme d'un nombre infini de copies de la réponse impulsionnelle, décalées chacune d'un retard légèrement différent ( ) et mises à l'échelle en fonction de la valeur du signal d'entrée à $x(t)$ $h(t)$ $y(t)$ $\tau$ $t$ cela correspond au délai: . $x(\tau)$

Ce type d'interprétation s'apparente à prendre la convolution à temps discret (décrite dans la réponse d'Atul Ingle) à la limite d'une période d'échantillonnage infiniment courte, qui n'est pas non plus totalement mathématiquement correcte, mais constitue un moyen décemment intuitif de visualiser l'action. pour un système à temps continu.

— Jason R
source

2

L'intégrande doit être

x (τ) h (t - τ) .

$x(\tau) h(t-\tau).$

— Atul Ingle

1

Mais il ne s’agit pas simplement de décaler le signal puis de prendre la somme de sortie, l’un des signaux est inversé contrairement à la corrélation.Et si l’un des signaux est la réponse impulsionnelle, c’est ok, mais que se passe-t-il si deux signaux sont différents, comme la convolution 2 images.

— pj

@ParagJain: En fait, il s'agit simplement de prendre la somme de nombreuses copies (en réalité d'un nombre infini) d'échelles de la réponse impulsionnelle. Le terme de réponse impulsionnelle

n'est pas inversé par rapport à la variable de temps

. Pour la corrélation croisée, comme vous l'avez noté, le signe sur

à l'intérieur de l'argument de réponse impulsionnelle est remplacé par un

. Peu importe que

soit vraiment la réponse d’un système LTI ou non; il pourrait s'agir d'une image que vous avez proposée ou de tout signal d'ailleurs. Le frottis créé par convolution est le même, comme décrit dans les réponses ci-dessous.

h (t - τ)

$h(t-\tau)$

t

$t$

τ

$\tau$

+

$+$

h (t)

$h(t)$

— Jason R

20

Une explication intuitive particulièrement utile pour les signaux discrets consiste à considérer la convolution comme une "somme pondérée d'échos" ou une "somme pondérée de mémoires".

Un instant, supposons que le signal d'entrée d'un système LTI discret avec une fonction de transfert soit une impulsion delta . La convolution est $h(n)$ $\delta(n-k)$ Ceci est juste un écho (ou mémoire) de la fonction de transfert avec un retard de k unités.

\begin{array}{rcl} y (n) & = & Σ_{m = - \infty}^{\infty} δ (m - k) h (n - m) \\ = & h (n - k) . \end{array}

$\begin{eqnarray} y(n) &=& \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(m-k) h(n-m) \\ &=& h(n-k). \end{eqnarray}$

Imaginons maintenant un signal d’entrée arbitraire comme une somme de fonctions pondérées . La sortie est alors une somme pondérée des versions différées de h (n). $x(n)$ $\delta$

Par exemple, si , écrivez alors . $x(n) = \{1, 2, 3\}$ $x(n) = \delta(n) + 2 \delta(n-1) + 3 \delta(n-2)$

La sortie du système est la somme des échos , et avec les poids appropriés 1, 2 et 3, respectivement. $h(n)$ $h(n-1)$ $h(n-2)$

Donc . $y(n) = h(n) + 2h(n-1)+3h(n-2)$

— Atul Ingle
source

1

Il pourrait être très utile d’ajouter une représentation graphique de chacune de vos équations. Certaines personnes (comme moi) comprennent mieux la convolution quand on la regarde visuellement.

— PhilMacKay

1

@PhilMacKay Pour une représentation graphique (en fait, une représentation tabulaire) de la convolution discrète, voir cette réponse .

— Dilip Sarwate

1

"échos" devrait vraiment être remplacé par "souvenirs". Souvenir du passé: Proust.

— rrogers

Pour une représentation graphique montrant la convolution de deux signaux de wagon couvert

— gbmhunter

11

Une façon intuitive de comprendre la convolution consiste à examiner le résultat de la convolution avec une source ponctuelle.

À titre d'exemple, la convolution 2D d'un point avec l'optique défectueuse du télescope spatial Hubble crée cette image:

Imaginez maintenant ce qui se passe s'il y a deux étoiles (ou plus) dans une image: vous obtenez ce motif deux fois (ou plus), centré sur chaque étoile. La luminosité du motif est liée à la luminosité d'une étoile. (Notez qu'une étoile est pratiquement toujours une source ponctuelle.)

Ces motifs correspondent essentiellement à la multiplication de la source ponctuelle avec le motif enchevêtré, le résultat étant stocké au niveau du pixel de manière à reproduire le motif lorsque l'image résultante est visualisée dans son intégralité.

Ma façon personnelle de visualiser un algorithme de convolution est celle d’une boucle sur chaque pixel de l’image source. Sur chaque pixel, vous multipliez par la valeur du motif compliqué et vous stockez le résultat sur le pixel dont la position relative correspond au motif. Faites cela sur chaque pixel (et additionnez les résultats sur chaque pixel), et vous obtenez le résultat.

— PhilMacKay
source

6

$x(k)$ $k$ $x$

Lequel est

$x(k)dk$

$dk$

$t$ $t-k$ $h(u)$ $u$ $t-k$ $k$ $h(t-k)$ $x(k)dk$ $x(k)h(t-k)dk$

L’effet global de la musique que nous entendons sera donc l’effet intégré de tous les impacts. Cela aussi de l'infini négatif à l'infini plus. Qui est ce qu'on appelle convolution.

— abhilash
source

illustration intéressante :)

— tomab

4

Vous pouvez également considérer la convolution comme une traînée / un lissage d'un signal par un autre. Si vous avez un signal avec des impulsions et un autre, disons, d'une seule impulsion carrée, le résultat sera l'impulsion étalée ou lissée.

Un autre exemple est celui de deux impulsions carrées convolues sortant sous la forme d'un trapèze aplati.

— charan
source

4

Si vous prenez une photo avec un appareil photo avec l’objectif défocalisé, il en résulte une convolution de l’image focalisée avec la fonction d’extension du point du flou.

La distribution de probabilité de la somme d'une paire de dés est la convolution des distributions de probabilité des dés individuels.

La multiplication longue est une convolution, si vous ne portez pas d'un chiffre à l'autre. Et si vous retournez un des nombres. {2, 3, 7} convolution avec {9, 4} est {8, 30, 55, 63}

      2   3   7
   X      4   9
---------------
     18  27  63 
  8  12  28
---------------
  8  30  55  63

(Vous pouvez terminer la multiplication en portant le "6" de 63 dans le 55, et ainsi de suite.)

— John Seymour
source

3

Dans les signaux et les systèmes, la convolution est généralement utilisée avec un signal d'entrée et une réponse impulsionnelle pour obtenir un signal de sortie (troisième signal). Il est plus facile de voir la convolution comme "la somme pondérée des entrées passées" car les signaux passés ont également une influence sur la sortie actuelle.

Je ne sais pas si c'est la réponse que vous recherchiez, mais j'ai récemment réalisé une vidéo à ce sujet parce que cela me dérangeait depuis longtemps. https://www.youtube.com/watch?v=1Y8wHa3fCKs&t=14s Voici une courte vidéo. S'il vous plaît excuser mon anglais lol.

— J.Lee
source

2

Une autre façon de considérer la convolution est de considérer que vous avez deux choses:

DATA - quantités certainement corrompues par du bruit - et à des positions aléatoires (dans le temps, l'espace, nommez-le)
MOTIF = un peu de connaissance sur l'apparence de l'information

la convolution de DATA avec (le miroir symétrique de) PATTERN est une autre quantité qui évalue - connaissant le PATTERN- quelle est la probabilité qu'il se trouve à chacune des positions dans DATA.

Techniquement, à chaque position, cette quantité est la corrélation (c'est le miroir du modèle) et mesure donc la log-vraisemblance sous certaines hypothèses générales (bruit gaussien indépendant). La convolution permet de le calculer à chaque position (dans l'espace, le temps ...) en parallèle.

— meduz
source

2

$g$ $f$ $g*f$

— Shivani Sharma
source

2

La signification physique est un signal passe à travers un système LTI! La convolution est définie comme étant le retournement (l'un des signaux), le décalage, la multiplication et la somme. Je vais expliquer mon intuition à propos de chacun.

1. Pourquoi inversons l'un des signaux en convolution, qu'est-ce que cela signifie?

Parce que le dernier point dans la représentation du signal d'entrée est en réalité le premier qui entre dans le système (notez l'axe du temps). La convolution est définie pour les systèmes invariants à minuterie linéaire. Tout est lié au temps et à la façon dont nous le représentons en mathématiques. Il existe deux signaux en convolution, l’un représentant le signal d’entrée et l’autre, la réponse du système. La première question est donc Quel est le signal de la réponse du système? La réponse du système est la sortie du système dans un temps donné tvers une entrée avec un seul élément non nul dans un temps donné t(signal d'impulsion qui est décalé de t).

2. Pourquoi les signaux sont multipliés point par point?

Encore une fois, référons-nous à la définition du signal de réponse du système. Comme dit, c'est le signal qui est formé en décalant une fonction d'impulsion tet en traçant la sortie pour chacun de ceux-ci t's. Nous pouvons également imaginer le signal d’entrée sous la forme d’une somme de fonctions d’impulsions ayant différentes amplitudes (échelles) et phases. OK, donc la réponse du système au signal d'entrée à un moment donné est la réponse du signal elle-même multipliée par (ou mise à l'échelle par) l'amplitude de l'entrée dans ce temps donné.

3. Qu'est-ce que cela signifie?

Cela étant dit (1 et 2), un décalage est effectué pour obtenir la sortie du système pour tout point de signal d'entrée à la fois t.

J'espère que cela vous aide les gars!

— MimSaad
source

2

$x_1$ $x_2$ $x_2$ $x_1$

Une "vue système" plus longue s'ensuit: Pensez à une vision idéale ( platonicienne ) d'un point. La tête d'une épingle, très fine, quelque part dans l'espace vide. Vous pouvez le résumer comme un Dirac (discret ou continu).

Regardez-le de loin, ou comme une personne myope (comme je le suis), elle devient floue. Maintenant, imaginez que le but est de vous regarder aussi. Du point de vue "point de vue", vous pouvez aussi être une singularité. Le point peut également être à courte vue, et le médium entre vous deux (vous en tant que singularité et le point) peut être non transparent.

Ainsi, la convolution est comme un pont au-dessus des eaux troubles . Je n'ai jamais pensé pouvoir citer Simon et Garfunkel ici. Deux phénomènes essayant de se saisir. Le résultat est le flou d'un flou par l'autre, symétriquement. Les flous ne doivent pas nécessairement être les mêmes. Votre flou à courte vue se combine de manière uniforme avec le flou de l'objet. La symétrie est telle que si le flou de l'objet se transforme en altération de la vue, et inversement, le flou global reste le même. Si l'un d'eux est idéal, l'autre n'est pas touché. Si vous pouvez voir parfaitement, vous voyez le flou exact de l'objet. Si l'objet est un point parfait, on obtient la mesure exacte de votre myopie.

$\log$

Vous pouvez vérifier mais pourquoi? Mathématiques intuitives: convolution

— Laurent Duval
source

1

La manière dont vous entendez le son dans un environnement donné (salle, espace libre, etc.) est une convolution du signal audio avec la réponse impulsionnelle de cet environnement.

Dans ce cas, la réponse impulsionnelle représente les caractéristiques de l’environnement telles que les réflexions audio, le retard et la vitesse de l’audio qui varie avec la température.

— VHampiholi
source

1

Pour reformuler les réponses:

Pour le traitement du signal, il s'agit de la somme pondérée du passé dans le présent. Typiquement, un terme est l’historique de la tension à une entrée d’un filtre et l’autre terme est un filtre ou un filtre ayant une "mémoire". Bien sûr, dans le traitement vidéo, tous les pixels adjacents remplacent le "passé".

Pour la probabilité, il s'agit d'une probabilité croisée pour un événement donné par d'autres événements; le nombre de façons d'obtenir un 7 au craps est la chance d'obtenir un: 6 et 1, 3 et 4, 2 et 5. C'est-à-dire la somme des probabilités P (2) fois la probabilité P (7-2): P ( 7-2) P (2) + P (7-1) * P (1) + .....

— les rogers
source

1

La convolution est un moyen mathématique de combiner deux signaux pour former un troisième signal. C'est l'une des techniques les plus importantes en DSP… pourquoi? En utilisant cette opération mathématique, vous pouvez extraire la réponse impulsionnelle du système. Si vous ne savez pas pourquoi la réponse impulsionnelle du système est importante, consultez la page http://www.dspguide.com/ch6.htm . En utilisant la stratégie de décomposition impulsionnelle, les systèmes sont décrits par un signal appelé réponse impulsionnelle. La convolution est importante car elle relie les trois signaux d’intérêt: le signal d’entrée, le signal de sortie et la réponse impulsionnelle . C'est une opération mathématique formelle, au même titre que la multiplication, l'addition et l'intégration. L'addition prend deux nombres et produit un troisième nombre, tandis que la convolution prend deux signaux et produit un troisième signal . Dans les systèmes linéaires, la convolution est utilisée pour décrire la relation entre trois signaux d’intérêt: le signal d’entrée, la réponse impulsionnelle et le signal de sortie (de Steven W. Smith). Encore une fois, ceci est fortement lié au concept de réponse impulsionnelle que vous devez lire à ce sujet.

— S Fateri
source

-2

Une impulsion provoque une séquence de sortie qui capture la dynamique du système (futur). En retournant cette réponse impulsionnelle, nous l'utilisons pour calculer la sortie de La combinaison pondérée de toutes les valeurs d'entrée précédentes. C'est une dualité incroyable.

— LARRY OBERDIER
source

-3

En termes simples, cela signifie transférer des entrées d'un domaine à un autre où il est plus facile de travailler. La convulation est liée à la transformation de Laplace, et il est parfois plus facile de travailler dans le domaine s, où nous pouvons faire des additions de base aux fréquences. Et comme la transformation est une fonction un à un, nous ne risquons pas de corrompre l’entrée. Avant d'essayer de comprendre la signification physique du théorème général de la convulation, commençons plutôt par le domaine de fréquence. L'addition et la multiplication scalaire suivent la même règle puisque la transformation de Laplace est un opérateur linéaire. c1.Lap (f (x) + c2.Lap g (x) = Lap (c1.f (x) + c2.g (x)). Mais qu'est-ce que Lap f (x) .Lap g (x). Qu'est-ce qui définit le théorème de convulation?

— Debendra Gurung
source