Pourquoi les filtres de phase linéaires ont-ils des réponses impulsionnelles symétriques?

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Il a été établi que les filtres de phase linéaires ont des réponses impulsionnelles symétriques, mais je ne vois pas pourquoi cela doit être vrai. Quelqu'un peut-il expliquer ou prouver cela?

— CAJ
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En fait, je pense que je vois pourquoi.

X (j Ω) = | X (j Ω) | e^{- j θ (Ω)}

$X(j\Omega) = |X(j\Omega)|e^{-j\theta(\Omega)}$

$|X(j\Omega)|$ est purement réel, et donc si nous prenons l'IFT, il est pair et symétrique.

$\theta(\Omega)= a\Omega$ puisque la phase est linéaire, donc décale simplement la magnitude paire et symétrique correspondante dans le domaine temporel, donc la réponse impulsionnelle résultante est symétrique par rapport à . $e^{-ja\Omega}$ $a$

— CAJ
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oui, c'est l'explication.

— Maximilian Matthé

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Jetez également un œil à cette question et à ses réponses. Il existe 4 types de filtres FIR à phase linéaire. Vous pouvez également avoir une réponse impulsionnelle anti-symétrique (vous donnant un déphasage supplémentaire de ), et vous avez des filtres de phase linéaires de même longueur, où la symétrie ne concerne pas un nombre d'échantillons entier, mais environ un point entre les deux. deux points d'échantillonnage.

π / 2

$\pi/2$

— Matt L.

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En fait, ce n'est pas obligatoire, selon la façon dont vous définissez le «filtre». Clements et Pease ont dérivé un filtre non implémentable qui est une phase linéaire, mais qui n'a aucune symétrie.

Les filtres sont inutiles car ils ne peuvent pas être implémentés, mais c'est un problème de réflexion intéressant.

— Peter K.
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Une très belle référence en effet. Merci de l'avoir mis en lumière

— Laurent Duval

@LaurentDuval Oui, je l'ai aimé quand je l'ai rencontré pour la première fois. Ce n'est pas particulièrement utile à des fins de mise en œuvre, mais cela étire un peu le cerveau pour voir comment ils l'ont fait. :-)

— Peter K.