Champs mathématiques nécessaires à la conception de filtres numériques

9

Je veux apprendre la conception de filtres numériques. Ma connaissance des mathématiques est au niveau secondaire. Je peux apprendre les mathématiques via Internet. Alors, quels domaines de mathématiques dois-je apprendre?

filter-design reference-request

— George Theodosiou
source

2

Bienvenue sur DSP.SE! J'ai modifié votre question et ajouté la reference-requestbalise. Je me rends compte que cela semble impoli, mais généralement "Salut" et le début et "s'il vous plaît / merci" à la fin des questions ne sont pas utilisés sur les forums * .SE. Le but ici est de répondre aux questions: donc poser une question est une chose parfaitement bien à faire.

— Peter K.

1

Jetez également un œil à cette question et à ses réponses.

— Matt L.

Monsieur le modérateur, bien qu'américains, vous n'êtes plus des cow-boys. Vous êtes un peu civilisé. Ensuite, l'introduction par "Gentlemen" et la fin par "regards" devraient être autorisées.

— George Theodosiou du

2

@George Theodosiou: Il m'a fallu un certain temps pour m'habituer à ne pas utiliser "Bonjour" et "Merci" sur ce site Web. Les maîtres de ce site Web veulent éviter ce qu'on appelle le «bavardage». (Discuter de choses triviales sans rapport avec le traitement du signal. Exactement ce que je fais en ce moment.) Soit dit en passant, bien que peu nombreux, il existe encore de vrais cow-boys légitimes en Amérique. Il y a un mois, j'ai rencontré un cow-boy dans un bar du Nevada qui portait un gilet en cuir et avait un six shooter dans son étui.

— Richard Lyons

J'ai mis quelques ressources DSP ici: pipad.org/wiki/index.php/DSP

— P i

6

Si vous avez les boules d'apprendre les mathématiques par vous-même. Les deux domaines de mathématiques que vous devez dominer pour faire la conception de filtres sont: l'analyse fonctionnelle et l'optimisation convexe. À peu près chaque conception de filtre est le résultat d'un problème d'optimisation, comme: Trouvez ces ensembles de nombres tels que la valeur absolue de la transformée de Fourier dans ces régions de fréquence a la forme suivante (entre ces deux limites lorsque la fréquence est de 0 Hz à 320 Hz, et entre ces deux autres lorsque la fréquence est supérieure à 340 Hz). Ou, quel est l'ensemble de nombres tels que lors de l'application de la convolution discrète de la séquence des nombres à ce signal , le résultat est ce signal . Et il existe de nombreuses autres façons de les définir. $N$ $N$ $x(n)$ $y(n)$

Et vous aurez besoin d'une analyse fonctionnelle afin de comprendre comment modéliser un signal, comment modéliser un système, et comment modéliser les interactions et les opérations entre les signaux (transformations, convolutions, etc.).

J'espère que cela aide.

— OS
source

Bien sûr. Je suis complètement d'accord avec toi. Le fait est que le point de ma réponse était de fournir un moyen de comprendre les concepts mathématiques sous-jacents derrière la conception de filtres. Mon approche de la conception de filtres consiste à aller dans matlab, à ouvrir l'outil de conception de filtres et à modifier les paramètres jusqu'à ce que je trouve quelque chose de convenable. Mais ce n'est pas une réponse appropriée à quelqu'un qui veut "en apprendre" sur la conception des filtres. Cela étant dit: le problème d'optimisation que j'ai décrit est ce que fait matlab derrière les rideaux, peut-être avec des approximations numériques.

— bone

9

Pour commencer:

Nombres complexes

La réponse en fréquence d'un filtre est plus facile à comprendre les valeurs complexes, décrivant à la fois la réponse en fréquence d'amplitude et la réponse en fréquence de phase. Vous pourrez comprendre les pôles et les zéros, qui peuvent être complexes. Les nombres complexes vous permettent d'avoir des fréquences négatives, ce qui simplifiera les mathématiques.

Trigonométrie

$\sin$ , et leur relation avec l'exponentielle complexe sont importants. Les fonctions sinusoïdales seront passées à travers des filtres avec seulement leur amplitude et leur phase affectées. $\cos$ $e^{i\alpha} = \cos(\alpha) + i\sin(\alpha)$

Différenciation

Pour trouver à quelle fréquence un simple filtre culmine ou descend, vous pouvez déterminer à quelle fréquence la dérivée de sa réponse en fréquence d'amplitude est nulle.

L'intégration

L'intégration est nécessaire pour la transformée de Fourier et la transformée de Fourier inverse.

Transformée de Fourier

La transformée de Fourier vous permet de passer d'une réponse impulsionnelle à une réponse en fréquence et inversement. De plus, les choses que vous faites dans le domaine temporel ont souvent une contrepartie simple dans le domaine fréquentiel, et vice versa.

— Olli Niemitalo
source

J'ajouterais que ce livre gratuit couvre une grande partie de ce qui est nécessaire, juste après "intégration" dans votre liste.

— MBaz

1

Vous souhaitez également une certaine compréhension de l'analyse numérique, en supposant que vous implémenterez vos filtres dans un logiciel / firmware. La transformation de Laplace est également utile car de nombreux filtres numériques sont dérivés de filtres analogiques.

— Mack mardi

5

@George Theodosiou: Au lieu de plonger dans toutes sortes de sujets mathématiques de grande puissance (dont seulement une partie vous sera utile), je vous suggère de commencer par lire un livre décent pour les débutants DSP. Tels que les livres populaires "Comprendre le traitement numérique du signal" ou "Le guide du scientifique et de l'ingénieur pour le traitement numérique du signal". Ces cuillères à livres nourrissent le lecteur, lentement et doucement, les mathématiques nécessaires pour commencer à étudier le DSP. Ensuite, lorsque vous rencontrez une équation dans ces livres qui vous laisse perplexe, vous pouvez aller sur le Web et apprendre les mathématiques de cette équation particulière plus en profondeur.

George, si votre désir d'apprendre le filtrage numérique est sincère et que vous conservez votre enthousiasme, vous réussirez. Pour citer Susan B. Anthony, «l'échec est impossible». Bonne chance.

— Richard Lyons
source

Monsieur Lyons, merci beaucoup pour votre commentaire. J'ai commencé à étudier votre livre "Comprendre le traitement numérique du signal" et j'ai quelques commentaires à faire, mais j'ai besoin d'une adresse pour les publier. Cordialement.

— George Theodosiou

1

@George Theodosiou: Je me réjouis de recevoir un e-mail de votre part. Je suis à R_dot_Lyons_at_ieee_dot_org. Yassas

— Richard Lyons

1

Un grand merci à ceux qui ont répondu, commenté et consulté ma question. Ma réponse est que je dois commencer par l'analyse fonctionnelle comme le suggère M. Bone. Je me souviens du lycée que lorsqu'un polynôme de x est égal à y, donne la fonction de x avec y. Je me souviens aussi du théorème fondamental de l'algèbre pour les coefficients réels. Ensuite, je peux commencer à partir de cette connaissance.

— George Theodosiou
source

1

Pour la conception de filtres numériques, j'apprécie les réponses ci-dessus et j'aimerais ajouter quelques champs.

Restons d'abord limités au filtrage linéaire. La linéarité, ainsi que l'invariance temporelle, sont des hypothèses fondamentales. Avec eux, les espaces vectoriels, la convolution (intégrales et séries) et les transformées de Fourier (partie de l'analyse fonctionnelle, avec une trigonométrie adn complexe) deviennent des outils naturels. J'insiste sur le fait que ces outils sont des conséquences naturelles de la linéarité / invariance temporelle, si vous obtenez cela, vous serez doucement conduit vers les outils dont vous avez besoin. L'optimisation est assez omniprésente dans la conception des filtres.

Sur le côté, vous pouvez garder à l'esprit des champs supplémentaires. Vous pouvez être intéressé par la conception de filtres complémentaires, avec des taux différents, et la conception de filtres multi-taux peut vous conduire à la factorisation matricielle, qui est également utile dans les structures de filtre (réseau, échelle) et la factorisation spectrale. Si vous passez à l'implémentation du système réel (FPGA, microcontrôleur), vous pouvez avoir à plonger dans l'arithmétique à virgule fixe ou entière. Bien sûr, la théorie de l'échantillonnage est une exigence de premier ordre, surtout si vous allez multidimensionnel (traitement d'image). On peut même toucher des mahématiques supérieures, avec des systèmes polynomiaux et des bases de Gröbner .

J'aime beaucoup, pour une introduction mathématique de base et propre à de nombreux sujets, Gasquet & Witomski Fourier Analysis and Applications: Filtering, Numerical Computation, Wavelets .

Permettez-moi d'ajouter un problème moins mentionné: une grande question est souvent le nombre de prises et la précision (nombre de bits par coefficient) nécessaires pour satisfaire une certaine conception de filtre. Deux sources:

Ichige et al. Estimation précise de la longueur de filtre minimale pour des filtres numériques {FIR} optimaux , Transactions IEEE sur les circuits et les systèmes II: traitement du signal analogique et numérique, 2000
Bellanger, Sur la complexité de calcul dans les filtres numériques , 1981

— Laurent Duval
source