La transformation de Laplace est-elle redondante?

La transformée de Laplace est une généralisation de la transformée de Fourier puisque la transformée de Fourier est la transformée de Laplace pour (c'est-à-dire que est un nombre imaginaire pur = zéro partie réelle de ). $s = j\omega$ $s$ $s$

Rappel:

Transformée de Fourier: $X(\omega) = \int x(t) e^{-j\omega t} dt$

Transformée de Laplace: $X(s) = \int x(t) e^{-s t} dt$

De plus, un signal peut être reconstruit exactement à partir de sa transformée de Fourier ainsi que de sa transformée de Laplace.

Puisqu'une partie seulement de la transformée de Laplace est nécessaire pour la reconstruction (la partie pour laquelle ), le reste de la transformée de Laplace ( ) semble être inutile pour la reconstruction ... $\Re(s) = 0$ $\Re(s) \neq 0$

Est-ce vrai?

De plus, le signal peut-il être reconstruit pour une autre partie de la transformée de Laplace (par exemple pour ou )? $\Re(s)=5$ $\Im(s)=9$

Et que se passe-t-il si nous calculons une transformée de Laplace d'un signal, puis en changeant un seul point de la transformée de Laplace, et calculons la transformée inverse: revenons-nous au signal d'origine?

fourier-transform laplace-transform

— Vinz
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Pourquoi le downvote? Même si la question peut contenir de fausses conclusions, c'est quelque chose que vous pouvez très bien traiter dans un commentaire ou une réponse. Voter en silence une question dans laquelle quelqu'un a apparemment fait des efforts n'est pas très constructif.

— Jazzmaniac

j'ai voté pour la question. si je pense en termes de fréquence angulaire

, alors j'aime dire Transformée de Fourier:

et Transformée de Laplace:

. alors c'est assez clair que c'est la même chose (sorta).

ω

$\omega$

X (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t

$X(j\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} \ dt$

X (s) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t

$X(s) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \ dt$

— robert bristow-johnson

La transformée de Fourier et de Laplace ont évidemment beaucoup de choses en commun. Cependant, il existe des cas où un seul d'entre eux peut être utilisé ou où il est plus pratique d'utiliser l'un ou l'autre.

Tout d'abord, même si dans les définitions vous remplacez simplement par ou vice versa pour passer d'une transformée à l'autre, cela ne peut généralement pas se faire lorsque l'on donne la transformée de Laplace ou la transformée de Fourier d'une fonction. (J'utilise des indices différents car les deux fonctions peuvent être différentes pour la même fonction de domaine temporel). Il existe des fonctions pour lesquelles seule la transformée de Laplace existe, par exemple, , $s$ $j\omega$ $X_L(s)$ $X_F(j\omega)$ $f(t)=e^{at}u(t)$ , où est la fonction de pas de Heaviside. La raison en est que l'intégrale dans la définition de la transformée de Laplace ne converge que pour , ce qui implique que l'intégrale correspondante dans la définition de la transformée de Fourier ne converge pas, c'est-à-dire que la transformée de Fourier n'existe pas dans ce Cas. $a>0$ $u(t)$ $\Re\{s\}>a$

$X_F(j\omega)\neq X_L(j\omega)$ $f(t)=\sin(\omega_0t)u(t)$

$s=j\omega$ $s$ $s$ $-\infty<t<\infty$ $f(t)=\sin(\omega_0 t)$ $f(t)=\sin(\omega_ct)/\pi t$

La transformée de Laplace peut être un outil pratique pour analyser le comportement des systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI) en considérant leur fonction de transfert, qui est la transformée de Laplace de leur réponse impulsionnelle. Les pôles et les zéros de la fonction de transfert dans le complexe $s$

Jetez également un œil à cette réponse à une question connexe.

— Matt L.
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La transformée de Fourier est un outil utile pour analyser des systèmes idéaux (non causaux, instables): diriez-vous causale et stable?

— Vinz

@ user17604: Je voulais dire ce que j'ai écrit. Bien sûr, vous pouvez également l'utiliser pour des systèmes causaux et stables (et non idéaux). Mais une utilisation importante est l'analyse du système idéal (comme les filtres sélectifs en fréquence idéaux), où la transformée de Laplace ne peut pas être utilisée.

— Matt L.

@MattL. Excellente réponse, mais j'ai trouvé "l'analyse des systèmes LTI avec des conditions initiales non nulles" déroutante, comment un système LTI peut-il avoir des conditions initiales non nulles?

@ 0MW: Oui, j'aurais probablement dû dire "des systèmes qui sont autrement LTI (si initialement au repos)".

— Matt L.