Signification de la partie réelle et imaginaire de la transformée de Fourier d'un signal

Disons que est un signal du temps , sa transformée de Fourier de la variable . $f$ $t$ $F$ $v$

On sait qu'en coordonnées polaires, nous dit combien la fréquence est présente sur le signal, et nous dit combien la contribution de cette fréquence est déphasée. $|F(v)|$ $v$ $Arg(F(v))$

Quelle information nous donne sa partie réelle et imaginaire?

Ou si je reformule ma question: peut-on donner une interprétation de la transformée de Fourier en coordonnées cartésiennes comme on peut le faire en coordonnées polaires?

fourier-transform

— user2682877
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Réponses:

Les parties réelle et imaginaire de la transformée de Fourier d'un signal sont respectivement les transformées de Fourier des parties paires et impaires du signal: $x(t)$

X_{R} (ω) = \frac{1}{2} [X (ω) + X^{*} (ω)] ⟺ \frac{1}{2} [x (t) + x^{*} (- t)] = x_{e} (t) X_{I} (ω) = \frac{1}{2 j} [X (ω) - X^{*} (ω)] ⟺ \frac{1}{2 j} [x (t) - x^{*} (- t)] = - j \cdot x_{o} (t)

$X_R(\omega)=\frac12[X(\omega)+X^*(\omega)]\Longleftrightarrow\frac12[x(t)+x^*(-t)]=x_e(t)\\ X_I(\omega)=\frac{1}{2j}[X(\omega)-X^*(\omega)]\Longleftrightarrow\frac{1}{2j}[x(t)-x^*(-t)]=-j\cdot x_o(t)$

$X_R(\omega)$ $X_I(\omega)$ $X(\omega)$ $x_e(t)$ $x_o(t)$ $x(t)$

— Matt L.
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Désolé d'être dense, mais je ne comprends toujours pas. Qu'entendez-vous par "parties paires et impaires" d'un signal? (Je ne sais pas non plus ce que signifie la double flèche dans votre notation.)

— natevw

Mise à jour: cela a peut-être quelque chose à voir avec les fonctions paires et impaires, comme indiqué ici: cs.unm.edu/~williams/cs530/symmetry.pdf ?

— natevw

x (t) = x_{e} (t) + x_{o} (t)

$x(t)=x_e(t)+x_o(t)$

x_{e} (t)

$x_e(t)$

x_{o} (t)

$x_o(t)$

Merci, cela clarifie votre réponse combinée aux diapositives d'introduction de la présentation "symétrie" que j'ai liée ci-dessus!

— natevw

Et qu'est-ce que j dans la partie imaginaire / impaire?

— sssheridan

S'il y a des fréquences égales mais l'une est la négative de l'autre, elles s'annuleront et il n'y aura aucun signal imaginaire.

— Gamaliel
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-1

$e^{j\omega t}$ $\omega$

— Seetha Rama Raju Sanapala
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Alors que votre point sur la partie résistive / partie réactive dans les systèmes linéaires peut être vraiment intéressant, sous la forme actuelle, votre réponse est désordonnée et difficilement compréhensible. Je suis en train de le voter

— Antoine Bassoul