Pourquoi est-ce que je vois une sonnerie à la sortie d'un filtre numérique avec une bande de transition étroite?

Je fais un eq "extrême" pour les effets de type spectral mangling avec audio. J'utilise des filtres muraux en brique et des filtres passe-bande et de rejet très étroits (plugins vst), et j'aimerais savoir s'il y a quelque chose que je puisse faire au sujet de l'anneau pré / post avec les filtres de phase linéaire / phase minimale Im utilisant . Malheureusement, je dois utiliser des pentes raides d'égalisation. Je suis prêt à utiliser la phase minimale car cela évite le pré-anneau.

Plus précisément, je me demande:

1. Qu'est-ce qui provoque exactement les oscillations de la réponse impulsionnelle juste après l'entrée, dans un filtre de phase minimum?

2. Ces osccilations sont-elles à l'origine du son audible avant et après la sonnerie qui est ajouté à la bande passante avec un filtrage à forte pente?

3. Les oscillations, et donc la fréquence de sonnerie, sont-elles toujours la même fréquence, ou la fréquence de sonnerie dépend-elle en quelque sorte du signal d'entrée?

Merci beaucoup pour votre expertise. J'attends avec impatience toutes les réponses. Vallée.

Modifié en réponse à la question révisée et aux commentaires supplémentaires du PO.

Je ne suis pas d'accord avec l'affirmation de @ JasonR selon laquelle la sonnerie du filtre est due au phénomène de Gibbs .

Comme décrit dans l'article de Wikipedia lié à la réponse de Jason, le phénomène de Gibbs est une observation sur le comportement asymptotique de la somme tronquée ( premiers termes) de la série de Fourier d'un signal périodique mais discontinu comme une onde carrée ou une onde en dents de scie. L'article de Wikipedia illustre un exemple de l'onde carrée, montrant qu'à mesure que de plus en plus de termes sont pris ( devient grand), la somme de Fourier tronquée se rapproche de plus en plus de l'onde carrée. Il y a des oscillations qui se produisent autour des instants de commutation où l'onde carrée passe de haut en bas ou vice versa, mais celles-ci deviennent de plus en plus petites lorsquen n n → $n$$n$$n$devient grand. Comme Jason le fait remarquer à juste titre, l'amplitude des oscillations devient plus petite, la fréquence augmente et la durée (observée) devient également plus petite. Dans l'ensemble, il semble que la somme de Fourier tronquée converge vers l'onde carrée dans la limite sous la forme .$n \to \infty$

Le phénomène de Gibbs est l'observation que même dans la limite où va à ,$n$$\infty$ la somme de la série de Fourier ne converge pas vers la valeur haute ou la valeur basse aux instants de commutation où l'onde carrée change brusquement de valeur. ( La convergence ne se produit à tous les autres instants). Cela n'a rien à voir avec le filtrage en soi, sauf dans le sens où la somme de Fourier tronquée peut être considérée comme la sortie d'un filtre passe-bas de mur de briques idéal avec une entrée d'onde carrée. Si la coupure du filtre est telle que le premier n n$n$les harmoniques sont passées inchangées et les harmoniques supérieures sont bloquées, la sortie est la somme de Fourier tronquée des premiers termes. Mais à la limite, c'est-à-dire lorsque le phénomène de Gibbs se produit, il n'y a pas de filtre: toutes les harmoniques sont transmises à la sortie sans aucun changement. Pour cette raison, je ne suis pas d'accord pour dire que la sonnerie du filtre est due au phénomène Gibbs.$n$

Alors pourquoi la sonnerie se produit-elle? ToutLes filtres (non triviaux) sonnent, qu'ils soient en brique ou non, quelle que soit la forme du signal d'entrée et que l'entrée soit continue ou présente des transitions nettes. La raison en est que si l'entrée a de l'énergie dans les bandes de fréquences qui sont arrêtées (que ce soit en totalité ou en partie substantielle), cette énergie est effectivement stockée en interne dans le filtre et libérée lentement sous forme d'énergie intrabande au fil du temps. La plupart du temps, cette version n'est pas très remarquée car elle est noyée par la réponse au signal intrabande qui est présent. Cependant, si le signal intrabande change (ou cesse) de façon relativement soudaine, cette énergie stockée des temps antérieurs doit encore être libérée, et c'est la sonnerie qui est observée après la disparition du signal intrabande. En termes de DSP, le tampon de filtre FIR continue de se vider même après la fin du signal, et ainsi la sortie continue même après la fin du signal. Étant donné que les filtres à coupure nette ont de longs tampons (de nombreuses sections biquad si vous le souhaitez), cette vidange prend beaucoup de temps et est beaucoup plus visible qu'avec un filtre plus facile à vider qui se vide assez rapidement.

Vos observations sont un exemple du phénomène Gibbs . Lorsque vous appliquez un filtre avec une bande de transition très nette, vous observerez des oscillations dans la sortie du filtre (ou "sonnerie") près de toute transition nette dans le signal d'entrée (par exemple, les limites des formes d'onde pulsées). La "fréquence" apparente des oscillations dépend de la largeur de bande du filtre; à mesure que vous augmentez la fréquence de coupure du filtre, les oscillations deviennent plus localisées dans le temps (c'est-à-dire "plus hautes en fréquence"), mais le dépassement de crête ne change pas . L'article Wikipedia lié ci-dessus a une bonne explication à mi-chemin .

1. Comme Jason l'a souligné, un "principe d'incertitude" de base: tout ce qui est très étroit en fréquence est large dans le temps et vice versa.
2. Si vous utilisez un minimum de filtres, il ne devrait pas y avoir de pré-sonnerie, seulement après la sonnerie. La pré-sonnerie ne se produit que pour les filtres à phase linéaire. La pré-sonnerie est beaucoup plus audible que la post-sonnerie, donc les filtres minimums ont tendance à être le meilleur choix ici. Cela peut sembler mauvais sur une mesure, mais à moins qu'il ne soit extrême, la post-sonnerie n'est pas très audible en raison de certaines propriétés de masquage du système auditif humain
3. Leur sonnerie est généralement exactement aux fréquences de coin de votre filtre. C'est-à-dire qu'un filtre passe-bas de 2 kHz produira une sonnerie de 2 kHz, donc la fréquence est fonction du filtre, pas du contenu. Le contenu l'excitera cependant différemment. Si le contenu est aussi peu ou pas de 2 kHz, cela n'excitera pas beaucoup la sonnerie.

Un filtre passe-bande avec des transitions abruptes et une bande passante plate se rapproche d'une forme rectangulaire.

Un rectangle dans un domaine FT est une fonction Sinc dans l'autre domaine. Cela est vrai pour une fenêtre rectangulaire dans le domaine temporel créant une "fuite" spectrale dans le domaine fréquentiel. Ou pour une fenêtre rectangulaire dans le domaine fréquentiel créant un paquet en spirale dans le domaine temporel. Plus le rectangle (bande passante) est étroit, plus le Sinc est large. (Et une fonction Sinc "sonne" des deux côtés). Pour une largeur donnée dans un domaine, la seule façon d'obtenir quelque chose de plus étroit en termes d'énergie qu'un Sinc dans l'autre domaine est d'utiliser quelque chose qui ressemble plus à un gaussien qu'à un rectangle, par exemple sans bords raides.

Envisagez maintenant de déplacer ce rectangle dans un domaine (par exemple, changer la fréquence de bande passante du filtre passe-bande). Un décalage circulaire dans un domaine DFT est une rotation de phase linéaire dans l'autre domaine. Additionnez avec un conjugué complexe pour obtenir une réponse réelle, et deux paquets de spirales exponentielles complexes à rotation opposée et rapide deviennent une réponse de domaine temporel de sonnerie. La rapidité de la sonnerie sera liée à la fréquence centrale du passe-bande et la durée de la sonnerie sera liée à l'étroitesse de la bande passante et à la pente de transition. Si la spirale tourne de plus d'un demi-tour avant que l'enveloppe ne s'éteigne, il y aura une sonnerie. La façon de faire disparaître cette enveloppe plus rapidement dans un domaine consiste à utiliser une fonction arrondie plus large dans l'autre domaine.

Partie 2:

Si vous utilisez Remez ou l'outil Parks-McClellen pour concevoir vos filtres, vous vous retrouverez avec une réponse en équi-ondulation. Une sinusoïde dans un domaine FT est une impulsion dans l'autre. Par conséquent, l'équi-ondulation dans le domaine fréquentiel sera une impulsion, ou "tick" dans le domaine temporel. Cette "tique" sera déplacée du centre de la réponse impulsionnelle par la "fréquence" de l'ondulation dans le domaine fréquentiel. Plus le filtre conçu par Remez est plat, plus l'ondulation est rapide, plus le "tick" est déplacé de la réponse impulsionnelle. Cela fait partie de la pré-sonnerie. Utilisez une méthodologie de conception de filtre moins agressive pour l'éviter.