Pourquoi la transformée de Fourier d'un peigne Dirac est-elle un peigne Dirac?

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Cela n'a pas de sens pour moi, car l' inégalité de Heisenberg déclare que $\Delta t\Delta \omega$ ~ 1.

Par conséquent, lorsque vous avez quelque chose de parfaitement localisé dans le temps, vous obtenez quelque chose de complètement distribué en fréquence. D'où la relation de base $\mathfrak{F}\{\delta(t)\} = 1$ où $\mathfrak{F}$ est l' opérateur de transformée de Fourier .

Mais pour le peigne Dirac , appliquant la transformée de Fourier, vous recevez un autre peigne Dirac. Intuitivement, vous devriez également obtenir une autre ligne.

Pourquoi cette intuition échoue-t-elle?

fourier-transform

— Carlos - la mangouste - Danger
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Je crois que l'erreur est de croire qu'un peigne Dirac est localisé dans le temps. Ce n'est pas parce que c'est une fonction périodique et en tant que telle, elle ne peut avoir des composantes fréquentielles qu'à des multiples de sa fréquence fondamentale, c'est-à-dire à des points de fréquence discrets. Il ne peut pas avoir un spectre continu, sinon il ne serait pas périodique dans le temps. Comme toute autre fonction périodique, un peigne Dirac peut être représenté par une série de Fourier, c'est-à-dire comme une somme infinie d'exponentielles complexes. Chaque exponentielle complexe correspond à une impulsion de Dirac dans le domaine fréquentiel à une fréquence différente. La sommation de ces impulsions Dirac donne un peigne Dirac dans le domaine fréquentiel.

— Matt L.
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Oui, aucun des peignes périodiques n'est localisé dans sa variable indépendante respective (temps / fréquence).

— Peter K.

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Votre intuition échoue parce que vous partez de fausses hypothèses. L'incertitude de Heisenberg ne dit pas ce que vous pensez qu'il dit. Comme vous le dites déjà dans votre question, c'est une inégalité . Pour être précis, c'est

Δ t \cdot Δ f \geq \frac{1}{4 π}

$\Delta t \cdot \Delta f \geq\frac{1}{4\pi}$

Il n'y a aucune raison pour que le produit d'incertitude soit proche de sa limite inférieure pour tous les signaux. En fait, les seuls signaux qui atteignent cette limite la plus basse sont les atomes de Gabor. Pour tous les autres signaux, attendez-vous à ce qu'il soit plus grand et peut-être même infini.

— Jazzmaniac
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C'est vrai, mais l'erreur principale est de penser qu'un peigne Dirac est localisé dans le temps. Ce n'est pas parce que c'est périodique. Le théorème d'incertitude ne dit donc rien d'utile sur un peigne Dirac.

— Matt L.

@MattL., Ce n'est pas ainsi que je comprends la question d'origine. Je pense qu'il fait valoir que le train dirac est entièrement délocalisé dans son domaine natif et que Fourier devrait donc se transformer en quelque chose de très localisé.

— Jazzmaniac

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OK, il semble qu'il y ait un malentendu sur ce que l'OP signifie par "une autre ligne". Je pensais que cela se référait à un spectre plat (tout comme le spectre d'une impulsion Dirac dont il a parlé précédemment). Mais vous pensiez que cela faisait référence à une raie spectrale, c'est-à-dire à une seule fréquence. Au moins, je comprends maintenant comment votre réponse pourrait répondre à la question du PO.

— Matt L.

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@MattL., Je pensais en fait qu'il voulait dire la représentation graphique habituelle des distributions de Dirac quand il écrivait "line". Dans tous les cas, il devra clarifier car la question peut être vraiment lue de deux manières différentes au moins.

— Jazzmaniac

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eh bien, la définition "standard" est une déclaration physique reliant les incertitudes de momentum et de position (en particulier les écarts-types) et qui contient un

. et même ainsi, dans ce cas, vous devez définir ce que l'on entend par "

" et "

". cette constante (que vous spécifiez comme

ℏ

$\hbar$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

) ne peut pas être trop loin de l'unité (dans l'échelle logarithmique), mais il n'est pas nécessaire que ce soit

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

sauf en raison d'une définition spécifique de "

" et "

".

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

— robert bristow-johnson

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les ingénieurs électriciens jouent un peu vite et librement avec la fonction delta de Dirac, qui, selon les mathématiciens, n'est pas une fonction (ou, du moins, pas une fonction "régulière", mais une "distribution"). le fait mathématique est que si $f(t)=g(t)$ "presque partout" (ce qui signifie à chaque valeur de $t$ sauf pour un nombre dénombrable de valeurs discrètes), alors

\int f (t) d t = \int g (t) d t

$\int f(t)dt = \int g(t)dt$ .

eh bien les fonctions $f(t)=0$ et $g(t)=\delta(t)$ sont égales partout sauf à $t=0$ , pourtant nous les ingénieurs électriciens insistons pour que leurs intégrales soient différentes. mais si vous mettez de côté cette petite différence (et, à mon avis, non pratique), la réponse à votre question est:

la fonction de peigne de Dirac
${I I I}_{T} (t) ≜ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} δ (t - k T)$ $\mathrm{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT)$ est une fonction périodique de la période $T$ et a donc une série de Fourier: ${I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j 2 π n t / T}$ $\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{j 2 \pi n t/T}$
si vous faites exploser les coefficients, $c_n$ , de la série de Fourier, vous obtenez:

\begin{aligned} c_{n} & = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} {I I I}_{T} (t) e^{- j 2 π n t / T} d t \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n t / T} d t (k = 0) \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n 0 / T} d t \\ = \frac{1}{T} \forall n \end{aligned}

$\begin{align} c_n & = \frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} \mathrm{III}_T(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \quad \quad (k=0)\\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n 0/T} dt \\ & = \frac{1}{T} \quad \quad \forall n \\ \end{align}$

donc la série de Fourier pour le peigne Dirac est

{I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π n t / T}

$\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \ e^{j 2 \pi n t/T}$

ce qui signifie que vous résumez simplement un tas de sinusoïdes d'amplitude égale.

la transformée de Fourier d'une seule sinusoïde complexe est:

F {e^{j 2 π f_{0} t}} = δ (f - f_{0})

$\mathfrak{F} \left\{ e^{j 2 \pi f_0 t} \right\} = \delta(f-f_0)$

and there is this property of linearity regarding the Fourier Transform. the rest of the proof is an exercise left to the reader.

— robert bristow-johnson
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@Jazzmaniac, that's a falsehood. when have i ever been condescending toward mathematicians? (me thinks you're projecting a bit.) BTW, it's been 38 years since i have had 2 semesters of functional analysis at the graduate level. don't remember everything, but i sure do remember what a metric space is, a normed metric space (i think they were sometimes called "Banach spaces"), and inner product spaces (sometimes called "Hilbert spaces"), and what a functional is (maps from one of these to a number). and i know what linear spaces are. about

δ (t)

$\delta(t)$ , i don't mind them being naked.

— robert bristow-johnson

You go on with a wrong argument that suggests mathematicians don't get 1 when they integrate over a Dirac distribution. Well, you can't demonstrate any better that you haven't understood the Dirac distribution, even if you have taken a class on functional analysis. It doesn't need electrical engineers like you to "fix" mathematics. And I will keep pointing that out to you until you stop talking about mathematicians like that. It's entirely your choice.

— Jazzmaniac

that's a falsehood, too, @Jazzmaniac. i am saying that, consistent with what mathematicians tell us, the Dirac delta function is not really a function (even though we electrical engineers don't worry about that distinction and deal with it as if it were a function) because if it were a function that was zero almost everywhere, the integral would be zero. why do you keep misrepresenting me? what is the ax you're grinding?

— robert bristow-johnson

@robertbristow-johnson "electrical engineers play a little fast and loose with the Dirac delta function." Paul Dirac was an electrical engineer. Claude Shannon was also an electrical engineer. I admonish you from making such general and inaccurate statements. You claim to be an electrical engineer and clearly understand distribution theory.

— Mark Viola

nearly every undergraduate electrical engineering textbook on Linear System Theory or Signals and Systems or some similar name, will introduce and treat the Dirac Delta as a limiting case of a "nascent delta". e.g. :

δ (t) = lim_{a \to 0} \frac{1}{a \sqrt{π}} e^{- t^{2} / a^{2}}

$\delta(t) = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-t^2/a^2}$ or some other unit area pulse function that you can make skinny. i would not be surprized that in published papers, folks like Shannon or Dirac (didn't know that) would stick with the conservative facts:

\int f (t) δ (t - τ) d t = f (τ)

$\int f(t) \delta(t-\tau) \ dt = f(\tau)$ and

δ (t) = 0 \forall t \neq 0

$\delta(t)=0 \quad \forall \ t \ne 0$ .

— robert bristow-johnson

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I shall try to give an intuition. The way we could probably think is : "One Dirac delta gives us a 1 in frequency domain. Now I give infinite number of Dirac deltas. Shouldn't I get a higher DC?" Now let us see whether by adding all those frequency components mentioned in the Dirac comb in the frequency domain(FD), we get another Dirac comb in time domain(TD). We are adding continuous waveforms and getting deltas at discrete points. Sounds weird.

Coming back to the FD. We have a Dirac comb with spacing $\omega_0$ . To put it in words, we have deltas at $0,\pm\omega_0,\pm2\omega_0,\pm3\omega_0$ and so on. We thus have a DC and infinite number of cosines, namely $\cos(\omega_0 t), \cos(2\omega_0 t), \cos(3\omega_0 t)$ and so on.

Let's consider points in time domain corresponding to $t = \frac{2n\pi}{\omega_0}$ . All the above cosine waves will give us value 1. Hence they all add up and give us non zero value at those points. Now what about any other t? We need to get convinced that they will all add up to zero.

Now deviating slightly, let's consider a waveform $cos(kn) ; n = 0,1,2,3,4...\infty$ . We know that unless k can be expressed as a fraction multiplied by $\pi$ , it's aperiodic. What does that mean? There is not a single repeating sample. Each of the samples are unique. Looking it from another perspective, we have infinite number of samples which are unique and part of a cosine wave. This means taking all the infinite points, we will be able to construct a single CONTINUOUS cosine wave completely once. What if $cos(kn)$ is periodic? We already know that the sum of samples will be zero periodically based on value of k. Hence, sum of all the samples of $cos(kn)$ will give us zero for any value of k, except $k = 2\pi$ 's multiple.

Returning back to our original problem : We now take an arbitrary $t=t_0 \neq 2r\pi$ . Now we have $\cos(0\omega_0 t_0)[dc] + \cos(\omega_0 t_0) + \cos(2\omega _0 t_0) + \cos(3\omega_0 t_0)$ ....as the value at $t=t_0$ . But we have already proved this infinite sum =0 for any t except $t=\frac{2n\pi}{\omega _0}$ , where all these cosines add up to give dirac deltas.

— Subramanian T R
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