Quel est le -Faites de la fonction de Bessel séquence

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Quelle est la transformation de la séquence pour ? $\mathcal Z$ $J_0(\alpha n)$ $n \in \mathbb{Z}$

La transformée de Fourier de la fonction de Bessel d'ordre ordre est connue pour être pour . Cela a un pôle à . Est-ce à dire que la transformation aura également un pôle sur le cercle unitaire? $^{\rm th}$ $J_0(\alpha x)$ $\frac{2}{\sqrt{\alpha^2 - \omega^2}}$ $|\omega| < \alpha$ $\omega = \alpha$ $\mathcal Z$

ÉDITER:

Le problème que je regarde concerne des échantillons discrets de la fonction de Bessel, c'est-à-dire . Comment dois-je procéder pour déterminer sa -transform? $J_0(n)$ $\mathcal Z$

fourier-transform z-transform

— sauravrt
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Je suis curieux, quelle est l'application pour cela?

— nibot

@nibot Je travaille avec un modèle de bruit isotrope et pour le cas 2D, les éléments de la matrice de covariance du bruit sont des fonctions de Bessel de premier ordre. Et les valeurs propres de la cov. la matrice est liée à la transformée en Z de la séquence de fonctions de Bessel.

— sauravrt

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L'expansion de Taylor pour la fonction de Bessel du premier type et du 0e ordre est

J_{0} (x) = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{m}}{(m!)^{^{2}}} {(\frac{1}{2} x)}^{2 m}

$J_{0}\left ( x \right )= \sum_{m=0}^{\infty }\frac{(-1)^{m}}{(m!)^{^{2}}}\left ( \frac{1}{2}x \right )^{2m}$

(voir http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function )

Donc, vous pouvez approximativement la comparer à la transformée en Z d'un polynôme.

— Hilmar
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Vous pouvez appliquer la définition de la transformation à une expression équivalente de la fonction de Bessel ou à une approximation. $\mathcal Z$

La fonction équivalente peut être:

\begin{aligned} J_{0} (x) & = \frac{1}{π} \cos (x \cos ϕ) d ϕ \\ = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} (1 - \frac{x^{2} \cos^{2} ϕ}{2!} + \frac{x^{4} \cos^{4} ϕ}{4!} - \frac{x^{6} \cos^{6} ϕ}{6!} + \dots) d ϕ \end{aligned}

$\begin{align} J_0(x) &= \frac 1\pi\cos\left(x\cos\phi\right)d\phi\\ &=\frac 1\pi\int_0^\pi\left(1-\frac{x^2\cos^2\phi}{2!}+\frac{x^4\cos^4\phi}{4!}-\frac{x^6\cos^6\phi}{6!}+\cdots\right)d\phi \end{align}$

Mise à jour :

Vous trouverez plus d'informations sur les expressions équivalentes ici .

— Luis Andrés García
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Il à l'approximation pour le signe intégral à la première étape. Je ne peux pas vous voir pour obtenir la transformée en Z approximative. J'ai eu une autre idée, en utilisant l'approximation . J'ai essayé cette approche et je me suis retrouvé avec une transformée en Z impliquant la fonction PolyLogarithmique (Mathematica utilisé)

J_{0} (x)

$J_0(x)$

J_{0} (x) = \sqrt{(} \frac{2}{x π} c o s (x - π / 4)

$J_0(x) = \sqrt(\frac{2}{x \pi} cos(x - \pi/4)$

— sauravrt

Je pense que l'approximation dont il parle est une approximation de la fonction de Bessel modifiée du premier type (si ma mémoire est bonne ). Le est l'argument de la fonction, pas comme dans -transform. Il souligne qu'au lieu d'évaluer directement la somme de la transformation , vous pouvez utiliser une autre forme équivalente ou approximativement équivalente à la fonction d'intérêt qui pourrait être plus facile à transformer.

I_{0} (z)

$I_0(z)$

z

$z$

z

$z$

z

$z$

z

$z$

— Jason R

Votre appréciation de l'approximation était vraie. J'ai modifié ma réponse.

— Luis Andrés García