Différence entre la transformée de Fourier à temps discret et la transformée de Fourier discrète

J'ai lu de nombreux articles sur DTFT et DFT mais je ne suis pas en mesure de discerner la différence entre les deux, à l'exception de quelques éléments visibles comme DTFT va jusqu'à l'infini tandis que DFT n'est que jusqu'à N-1. Quelqu'un peut-il expliquer la différence et quand utiliser quoi? Wiki dit

La DFT diffère de la transformée de Fourier à temps discret (DTFT) en ce que ses séquences d'entrée et de sortie sont toutes deux finies; il s'agit donc de l'analyse de Fourier des fonctions à temps discret à domaine fini (ou périodique).

Est-ce la seule différence?

Edit: cet article explique bien la différence

La transformée de Fourier en temps discret (DTFT) est la transformée de Fourier (conventionnelle) d'un signal en temps discret. Sa sortie est continue en fréquence et périodique. Exemple: pour trouver le spectre de la version échantillonnée d'un signal à temps continu x ( t ), le DTFT peut être utilisé.$x(kT)$$x(t)$

La transformée de Fourier discrète (DFT) peut être considérée comme la version échantillonnée (dans le domaine fréquentiel) de la sortie DTFT. Il est utilisé pour calculer le spectre de fréquences d'un signal à temps discret avec un ordinateur, car les ordinateurs ne peuvent gérer qu'un nombre fini de valeurs. Je dirais que la sortie DFT n'est pas finie. Il est également périodique et peut donc se poursuivre indéfiniment.

Résumer:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) Une propriété mathématique de la TFD est que les deux ses entrées et sorties sont périodiques avec la longueur DFT . Autrement dit, bien que le vecteur d'entrée de la DFT soit fini dans la pratique, il est juste de dire que la DFT est le spectre échantillonné si l'entrée DFT est considérée comme périodique.$N$

D'accord, je vais répondre à cela avec un argument que les "opposants" à ma position rigide de type nazi concernant la DFT ont.

tout d'abord, ma position rigide, nazie : la série DFT et la série Fourier discrète sont identiques. la DFT mappe une séquence infinie et périodique, $x[n]$ avec la période$N$ dans le domaine "temps" à une autre séquence infinie et périodique,$X[k]$ , encore avec la période$N$ , dans le domaine "fréquence". et l'iDFT le cartographie en arrière. et ils sont "injectifs" ou "inversibles" ou "un à un".

DFT:

$$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$$

iDFT:

$$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$$

c'est le plus fondamentalement ce qu'est la TFD. c'est intrinsèquement une chose périodique ou circulaire.

mais les négateurs de la périodicité aiment dire ceci à propos de la DFT. c'est vrai, cela ne change rien à ce qui précède.

Donc, supposons que vous ayez une séquence de longueur finie $x[n]$ de longueur$N$ et, au lieu de l'étendre périodiquement (ce que fait la DFT de façon inhérente), vous ajoutez cette séquence de longueur finie avec des zéros infiniment à gauche et à droite. donc

$$\hat{x}[n] \triangleq \begin{cases} x[n] \qquad & \text{for } 0 \le n \le N-1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

maintenant, cette séquence infinie non répétitif fait un DTFT:

DTFT: X ( e j ω ) = + ∞ Σ n = - ∞ x [ n ] e

$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n}$$

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$est la transforméeZ de x [n]évalués sur le cercle unitéz=ejωpourinfinité devéritablesvaleurs deω$\hat{x}[n]$$z=e^{j\omega}$$\omega$ . maintenant, si vous le DTFT échantillon X ( e j ω ) à N points également espacés sur le cercle unitaire, avec un seul point à z = e j$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$$N$$z=e^{j\omega}=1$, vous obtenez

$$\begin{align} \hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n} \Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = X[k] \\ \end{align}$$

c'est précisément la relation entre la DFT et la DTFT. échantillonner le DTFT à des intervalles uniformes dans les causes de domaine « fréquence », dans le domaine « temps », la séquence d' origine x [ n ] à répéter et décalé par tous les multiples de N et de chevauchement-ajoutée. c'est ce que l'échantillonnage uniforme dans un domaine provoque dans l'autre domaine. mais depuis$\hat{x}[n]$$N$$\hat{x}[n]$est supposée être$0$dehors de l'intervalle$0 \le n \le N-1$, quichevauchent ajoutée ne fait rien. il prolonge simplement périodiquement la partie non nulle de x [n$\hat{x}[n]$ [ n ] ., notre séquence originale de longueur finie, $x[n]$

La sortie DTFT étant continue, elle ne peut pas être traitée avec des ordinateurs. Nous devons donc convertir ce signal continu sous forme discrète. Ce n'est rien d'autre que la DFT comme une nouvelle avancée sur la FFT pour réduire les calculs.

Si j'ai raison, même si l'entrée DFT est périodique, bien que le nombre d'échantillons soit fini, les mathématiques derrière elle le traitent comme une séquence infinie qui commence périodiquement les Néchantillons après sa fin. S'il vous plait corrigez moi si je me trompe.

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j2\pi nk/N}$$ $$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N−1} X[k] e^{j2\pi nk/N}$$