Quand pouvons-nous écrire le principe d'incertitude de Heisenberg comme une égalité?

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Nous savons que le principe d'incertitude de Heisenberg stipule que

Δ f Δ t \geq \frac{1}{4 π} .

$\Delta f \Delta t \geq \frac{1}{4 \pi}.$

Mais (dans de nombreux cas pour l'ondelette de Morlet), j'ai vu qu'ils ont changé l'inégalité en une égalité. Maintenant, ma question est de savoir quand pouvons-nous changer l'inégalité en une égalité:

Δ f Δ t = \frac{1}{4 π}

$\Delta f \Delta t = \frac{1}{4 \pi}$ why =

fourier-transform wavelet resolution

— Électricien
source

cela semble très intéressant

— dato datuashvili

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comme je sais qu'il est égal si la distribution gaussienne est de forme optimale, veuillez consulter ce livre The Illustrated Wavelet Transform Handbook: Introductory Theory and Applications in Science, Engineering, Medicine and Finance

— dato datuashvili

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le lien est rompu, voulez-vous envoyer le livre par e-mail ou envoyer un autre lien s'il vous plaît? mon email: <electricaltranslation@gmail.com> merci @datodatuashvili

— Electricman

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Il est important de définir les largeurs temporelle et fréquentielle et d'un signal avant de discuter de toute forme particulière du principe d'incertitude. Il n'y a pas de définition unique de ces quantités. Avec des définitions appropriées, on peut montrer que seul le signal gaussien satisfait au principe d'incertitude avec égalité. $\Delta_t$ $\Delta_{\omega}$

Considérons un signal avec transformée de Fourier satisfaisant $f(t)$ $F(\omega)$

\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} (t) d t = 1 (unit energy) \int_{- \infty}^{\infty} t | f (t) |^{2} d t = 0 (centered around t = 0) \int_{- \infty}^{\infty} ω | F (ω) |^{2} d ω = 0 (centered around ω = 0)

$\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=1\quad\textrm{(unit energy)}\\ \int_{-\infty}^{\infty}t|f(t)|^2dt=0\quad\textrm{(centered around }t=0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}\omega|F(\omega)|^2d\omega=0\quad\textrm{(centered around }\omega=0)$

Aucune de ces conditions n'est en fait une restriction. Ils peuvent tous être satisfaits (pour les signaux à énergie finie) par une mise à l'échelle, une translation et une modulation appropriées.

Si nous définissons maintenant les largeurs de temps et de fréquence comme suit

Δ_{t}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} t^{2} | f (t) |^{2} d t Δ_{ω}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} ω^{2} | F (ω) |^{2} d ω

$\Delta_t^2=\int_{-\infty}^{\infty}t^2|f(t)|^2dt\\ \Delta_{\omega}^2=\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2|F(\omega)|^2d\omega$

alors le principe d'incertitude stipule que

\begin{matrix} (2.6.2) & Δ_{t}^{2} Δ_{ω}^{2} \geq \frac{π}{2} \end{matrix}

$\Delta_t^2\Delta_{\omega}^2\ge\frac{\pi}{2}\tag{2.6.2}$

$f(t)$ $1/\sqrt{t}$ $t\rightarrow\pm\infty$

où l'inégalité est satisfaite de l'égalité pour le signal gaussien

\begin{matrix} (2.6.3) & f (t) = \sqrt{\frac{α}{π}} e^{- α t^{2}} \end{matrix}

$f(t)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\alpha t^2}\tag{2.6.3}$

Les numéros d'équation ci-dessus correspondent à la preuve ci-dessous qui provient de Wavelets and Subband Coding de Vetterli et Kovacevic (p.80):

entrez la description de l'image ici

— Matt L.
source

merci pour le calcul, je vais essayer de le comprendre. @ matt-l

— Electricman

@Matt L .: Pourquoi définissez-vous les largeurs de temps et de fréquence avec un facteur de poids carré? J'ai vu à l'école que les variances ∆t et ∆w sont. Les écarts de distribution sont-ils avec un facteur de pondération linéaire? Qu'est-ce que c'est? Cela signifie-t-il donc que ce principe d'incertitude ne parle pas des variances d'une fonction et de la variance de son spectre, mais d'autre chose?

— Martijn Courteaux du

| f (t) |^{2}

$|f(t)|^2$

f (t)

$f(t)$

| f (x) |^{2}

$|f(x)|^2$

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f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} t^{2} f (t) d t

$\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)dt$

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Je ne peux pas vous donner toute la théorie derrière cela (car cela remplit littéralement les livres), mais il s'avère que Heisenberg devient une égalité exacte pour précisément cette famille de signaux:

s_{t_{0}, ω_{0}, σ, ϕ, γ} (t) = \exp (- {(\frac{t - t_{0}}{σ})}^{2} + i (ϕ + ω_{0} (t - t_{0}) + γ (t - t_{0})^{2}))

$s_{t_0,\omega_0,\sigma,\phi,\gamma}(t) = \exp\left(-\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2 + i \left(\phi + \omega_0 (t-t_0) + \gamma (t-t_0)^2\right)\right)$

où tous les paramètres sont des nombres réels. Cette famille est générée par des symplectomorphismes quadratiques en temps-fréquence à partir d'un seul atome de Gabor. Ces symplectomorphismes préservent la relation d'incertitude de Heisenberg.

$\Delta F \cdot \Delta T$ $\gamma$

La notion d'aire temps fréquence peut cependant être généralisée pour mesurer l'aire de formes non alignées avec l'axe temps et fréquence. Cela signifie qu'au lieu du produit d'incertitude entre F et T, nous mesurons le produit d'incertitude minimal de deux variables conjuguées réparties entre F et T. Je vous épargne les détails, mais pour cette définition de la zone temps-fréquence, la famille de signaux donne vous le minimum.

— Jazzmaniac
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N'est-ce pas les fuonctiuons Gabuor fijlter? ''

— Jean-Yves

Une des raisons pour lesquelles cela "remplit les livres" est que les nombreuses conditions requises pour l'égalité sont précisément définies et limitées (souvent au-delà de toute utilité dans tout autre contexte, tel que le monde réel).

— hotpaw2

Le contexte d'origine du principe d'incertitude de Heisenberg était la physique, en particulier la mécanique quantique où les variables conjuguées en question sont la position et la quantité de mouvement. Elle ne se limite pas à l'analyse temps / fréquence.

— user2718

@BZ, vous prêchez au chœur ici. Je suis physicien quantique mathématique. Cependant, je ne vois pas vraiment le sens de votre commentaire ici ou cela dans votre propre réponse.

— Jazzmaniac

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Le principe d'incertitude établit une limite théorique pour la résolution, il n'est donc jamais écrit comme une égalité.

Les relations d'égalité que vous rencontrez concernent un contexte d'analyse spécifique et une implémentation d'analyse. Dans ce cas, le contexte est l'analyse du signal, donc le temps / fréquence sont les variables conjuguées d'intérêt, et la mise en œuvre est l'ondelette spécifique utilisée.

La relation d'égalité permet de comparer les résolutions entre différentes implémentations d'analyse. Il faut être prudent lors de l'interprétation de ces relations car la définition de la résolution ne devrait pas, mais peut varier.

Une relation d'égalité est appropriée une fois que vous avez défini deux choses: 1) la signification mathématique de la résolution. 2) la méthode d'analyse (dans ce cas, choix de l'ondelette).

— user2718
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Si vous creusez plus profondément, le principe de Heisenberg devient bien plus qu'une déclaration sur la résolution. Il est profondément lié à la géométrie temps-fréquence dans une structure mathématique appelée géométrie non commutative symplectique. Il fournit une mesure théorique de l'information pour les informations temps-fréquence et devient précisément quantifié intégralement. Vous pouvez même l'utiliser pour généraliser le théorème de Shannon pour la reconstruction de régions TF arbitraires.

— Jazzmaniac

En mécanique quantique, le principe d'incertitude est l'une des diverses inégalités mathématiques affirmant une limite fondamentale à la précision avec laquelle certaines paires de propriétés physiques d'une particule appelées variables complémentaires, telles que la position x et la quantité de mouvement p, peuvent être connues simultanément. Par exemple, en 1927, Werner Heisenberg a déclaré que plus la position d'une particule est déterminée avec précision, moins son élan peut être connu avec précision, et vice versa. [Wikipédia - mais j'ai appris cela en physique et je l'ai revu dans les cours d'analyse]

— user2718