L'inverse-CTFT existe-t-il pour un delta dirac?

8

La transformée de Fourier à temps continu inverse existe-t-elle pour un delta de Dirac (Un seul pic causal / non causal)?

continuous-signals

— Mikhail
source

1

Voir les réponses à une question récente connexe sur math.SE qui vous expliquera également comment utiliser des tableaux de paires de transformées de Fourier courantes par rapport à la variable de fréquence radian radians / seconde pour obtenir des paires de transformées de Fourier par rapport à la variable de fréquence dans Hertz. Pour le cas particulier des impulsions temporelles ou fréquentielles, la clé est la propriété de tamisage :

ω

$\omega$

f

$f$

\int_{- \infty}^{\infty} X (y) δ (y - une) ré y = X (une) si X (y) est continu à une .

$\int_{-\infty}^{\infty} x(y) \delta(y-a)\mathrm dy = x(a) ~ \text{if}~x(y)~\text{is continuous at}~a.$

— Dilip Sarwate

4

Oui, c'est une exponentielle complexe , à une fréquence déterminée par la "position" du delta (votre entrée étant ). Écrivez l'intégrale pour la transformée de Fourier inverse, utilisez la définition de et vous verrez qu'il "sélectionne" à cette fréquence particulière l'exponentielle complexe en cours d'intégration. $e^{2 \pi i f_0 t}$ $f_0$ $\delta(f - f_0)$ $\delta$

— pichenettes
source

1

Il s'agit d'une transformation très importante que l'on retrouve souvent dans un tableau de transformées de Fourier courantes comme celle-ci .

— Jason R

3

En remarque: la transformation de Fourier directe et inverse est essentiellement la même chose. Par exemple, un rectangle dans un domaine correspond à un sin (x) / x dans l'autre domaine (qu'il démarre en temps ou en fréquence). Il en va de même pour un delta: l'impulsion dans un domaine correspond à une exponentielle complexe dans l'autre.

Vous pouvez implémenter une FFT inverse (basée sur une FFT directe) comme suit:

prendre le conjugué
FFT avant
reprendre le conjugué
diviser par la longueur de la séquence

Dans Matlab, cela ressemblerait à ceci

n = 1024;
x0 = randn(n,1) + j*rand(n,1); % random sequence
fx = fft(x0);  % take the FFT
x1 = conj(fft(conj(fx)))/n; % inverse fft based on fw fft
% print an error metric how close we got to the orginal signal
fprintf('Error = %6.2f dB\n', 10*log10(sum( (x1-x0).* conj(x1-x0))./sum(x0.*conj(x0))));

— Hilmar
source

Je n'inclurais pas l'étape 4 dans votre liste ci-dessus, car ce ne sera pas nécessairement le cas. Il n'y a pas une seule notion convenue de la façon dont la mise à l'échelle est gérée dans la DFT / IDFT. Ce que vous avez indiqué fonctionne avec l'implémentation de MATLAB, mais il est possible qu'un autre n'exige pas la division par

N

$N$ .

— Jason R

1

C'est vrai. La mise à l'échelle de Matlab est probablement la plus courante (et observée dans la plupart des manuels). 1 / sqrt (N) pour le sens direct et le sens inverse serait préférable s'il garantissait la version la plus propre du théorème de Parseval, c'est-à-dire que l'énergie dans le domaine temporel est égale à l'énergie dans le domaine fréquentiel.

— Hilmar