Quand l'aliasing est-il une bonne chose?

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Dans le livre de Hamming, The Art of Doing Science and Engineering , il raconte l'histoire suivante:

Un groupe de la Naval Postgraduate School modulait un signal à très haute fréquence jusqu'à l'endroit où il pouvait se permettre d'échantillonner, selon le théorème d'échantillonnage tel qu'il le comprenait. Mais j'ai réalisé que s'ils échantillonnaient intelligemment la haute fréquence, l'acte d'échantillonnage lui-même la modulerait (alias). Après quelques jours de dispute, ils ont enlevé le rack d'équipement d'abaissement de fréquence, et le reste de l'équipement fonctionnait mieux!

Existe-t-il d'autres moyens d'utiliser l'aliasing comme technique principale de traitement d'un signal, par opposition à un effet secondaire à éviter?

sampling bandpass

— datageist
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Attention à l' effet d'intégration (effet d'ouverture) qui met efficacement une bande passante de coupure sur le transducteur. Les signaux entrants qui sont au-dessus de la largeur de bande de coupure en raison de l'effet d'intégration ne seront pas captés, il n'y a donc aucun moyen d'utiliser l'aliasing sur des fréquences trop élevées.

— rwong

@rwong Très intéressant.

— datageist

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Le texte cité dans la question est un cas d'utilisation de l' échantillonnage passe-bande ou du sous - échantillonnage .

Ici, pour éviter la distorsion de repliement , le signal d'intérêt doit être passe-bande . Cela signifie que le spectre de puissance du signal est uniquement non nul entre . $f_L < |f| < f_H$

Si nous échantillonnons le signal à un taux , alors la condition que les spectres répétés suivants ne se chevauchent pas signifie que nous pouvons éviter le repliement. Les spectres répétés se produisent à chaque multiple entier de . $f_s$ $f_s$

Mathématiquement, nous pouvons écrire cette condition pour éviter la distorsion d'alias comme

\frac{2 F_{H}}{n} \leq F_{s} \leq \frac{2 F_{L}}{n - 1}

$\frac{2 f_H}{n} \le f_s \le \frac{2 f_L}{n - 1}$

où est un entier qui satisfait $n$

1 \leq n \leq \frac{F_{H}}{F_{H} - F_{L}}

$1 \le n \le \frac{f_H}{f_H - f_L}$

Il existe un certain nombre de plages de fréquences valides avec lesquelles vous pouvez le faire, comme illustré par le diagramme ci-dessous (tiré du lien wikipedia ci-dessus).

entrez la description de l'image ici

Dans le diagramme ci-dessus, si le problème se situe dans les zones grises, nous pouvons éviter la distorsion d'alias avec l'échantillonnage passe-bande --- même si le signal échantillonné est aliasé, nous n'avons pas déformé la forme du spectre du signal.

— Peter K.
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Peter, pourriez-vous développer votre réponse en fournissant plus de détails et quelques illustrations des articles liés? Je dis cela parce que le pdf est un lien vers la page Web personnelle de quelqu'un et s'il retire le fichier, la réponse perd toute utilité! En général, il est utile de paraphraser les informations des liens afin que la réponse soit autosuffisante et immunisée contre la pourriture des liens. En outre, je pense que l'OP demandait des applications autres que l' échantillonnage passe-bande dans lesquelles l'effet de repliement est délibérément utilisé à son avantage.

— Lorem Ipsum

@yoda: Fera. Pas le temps pour l'instant (il faut tondre!), Mais j'y reviendrai plus tard dans la journée.

— Peter K.

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Merci! Re: tondre, puisque vous avez une pelouse et peut-être aussi un jardin, puis-je vous intéresser au site de jardinage ? Je suis modérateur sur ce site et nous avons de bons conseils sur la croissance / l'entretien des pelouses et la réparation des pelouses . Veuillez nous consulter et n'hésitez pas à poser toutes les questions liées aux légumes / fleurs / arbres / compost, etc.!

— Lorem Ipsum,

@yoda: Merci pour la modification. Je ne savais pas que c'est comme ça que vous obtenez le style d'affichage! :-)

— Peter K.

2

Vous pouvez sous-échantillonner sans que le signal soit des bandes passantes, tant que la fréquence d'image du signal souhaité est crantée devant l'échantillonneur. Avec les bons rapports de fréquence, vous pouvez échantillonner deux signaux, un sur et un sous la fréquence d'échantillonnage, tant que les signaux et les images ne se chevauchent pas après le repliement. Notez également que le sous-échantillonnage est beaucoup moins tolérant à la gigue d'échantillonnage.

— hotpaw2

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La démodulation numérique est un exemple qui me vient à l'esprit. Le détecteur optimal pour un schéma de modulation linéaire est un filtrage et une décimation adaptés à l'échantillon central de chaque symbole.

Le filtrage adapté peut ne pas faire un très bon travail de réduction de la bande passante, mais nous voulons toujours prendre des décisions au débit de symboles.

Le repliement de l'énergie dans ce cas fait partie de la reconstruction des symboles modulés.

Le point clé est que l'énergie doit alias de manière cohérente dans la phase correcte, c'est-à-dire que le timing est crucial.

— Mark Borgerding
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La super-résolution est un autre domaine dans lequel le crénelage est nécessaire, ou pour le dire mieux, le système optique ne devrait pas être le maillon le plus faible de la chaîne (et les composants optiques auxquels l'anti-crénelage efficace comme les filtres optiques anti-moiré ne devraient pas faire partie la chaine)

— Aurelio
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Une autre fois où l'aliasing n'est pas un problème est lors de la conception de filtres passe-bas utilisés pour la décimation. Vous pouvez autoriser une certaine quantité d'alias après l'opération de décimation pour assouplir les contraintes sur les performances du filtre, résultant en une conception d'ordre inférieur. Au lieu de placer le bord de la bande d'arrêt à la fréquence de Nyquist post-décimation, vous pouvez le faire glisser juste assez loin pour qu'il ne se replie pas dans la bande passante du filtre (et donc corrompre votre signal d'intérêt).

$f_s$ $D$ $f_p$ $\frac{f_s}{2 D}$

$\frac{f_s}{2 D} + \Delta f$ $\frac{f_s}{2 D} - \Delta f$ $f_{stop} = \frac{f_s}{2 D} + \Delta f$ $\Delta f$

F_{s t o p_{une l je une s e ré}} = \frac{F_{s}}{2 ré} - Δ F \geq F_{p}

$f_{stop_{aliased}} = \frac{f_s}{2 D} - \Delta f \ge f_p$

Δ F \leq \frac{F_{s}}{2 ré} - F_{p}

$\Delta f \le \frac{f_s}{2 D} - f_p$

La leçon à retenir est que s'il y a toujours une quantité décente de suréchantillonnage présente dans le signal post-décimé ( il y a des raisons pour lesquelles vous le feriez ), alors vous pouvez pousser la bande d'arrêt d'un montant non trivial. En tant que mesure quantitative, vous pouvez examiner les rapports de transition des spécifications de filtre "naïf" et "détendu":

T_{n une je v e} = \frac{F_{p}}{F_{s t o p_{n une je v e}}} = \frac{F_{p}}{\frac{F_{s}}{2 ré}} = \frac{2 ré F_{p}}{F_{s}}

$T_{naive} = \frac{f_p}{f_{stop_{naive}}} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D}} = \frac{2 D f_p}{f_s}$

T_{r e l une X e ré} = \frac{F_{p}}{F_{s t o p_{r e l une X e ré}}} = \frac{F_{p}}{\frac{F_{s}}{2 ré} + (\frac{F_{s}}{2 ré} - F_{p})} = \frac{F_{p}}{\frac{F_{s}}{ré} - F_{p}}

$T_{relaxed} = \frac{f_p}{f_{stop_{relaxed}}} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D} + (\frac{f_s}{2 D} - f_p)} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{D} - f_p}$

\frac{T_{r e l une X e ré}}{T_{n une je v e}} = \frac{\frac{F_{p}}{\frac{F_{s}}{ré} - F_{p}}}{\frac{2 ré F_{p}}{F_{s}}}

$\frac{T_{relaxed}}{T_{naive}} = \frac{\frac{f_p}{\frac{f_s}{D} - f_p}}{\frac{2 D f_p}{f_s}}$

\frac{T_{r e l une X e ré}}{T_{n une je v e}} = \frac{1}{2 - \frac{F_{p}}{\frac{F_{s}}{2 ré}}}

$\frac{T_{relaxed}}{T_{naive}} = \frac{1}{2 - \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D}}}$

Cette dernière expression vous donne une représentation compacte de l'amélioration du rapport de transition qui peut être obtenue en assouplissant la spécification du filtre de cette manière, paramétrée par le rapport de la bande passante du filtre (c'est-à-dire le signal de la bande passante du signal d'intérêt) à la fréquence de Nyquist post-décimation . En traçant ce rapport en fonction de la fréquence de bande passante (normalisée par le taux d'échantillonnage post-décimation), vous obtenez:

$\frac{f_s}{D}$

— Jason R
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Le repliement peut en effet être une bonne chose dans certaines conditions.

Regardez-le de cette façon: disons que votre taux d'échantillonnage est de 100 Hz. Disons également que vous avez un signal quelque part là-bas, qui est assis, disons, de 990 à 1010 Hz. (Donc sa largeur de bande totale est de 20 Hz, et elle est centrée sur 1000 Hz).

D'accord, maintenant quoi?

Supposons que vous ayez échantillonné ce signal à votre fréquence de 100 Hz. Tout ce qui se passe, c'est que votre signal (assis de 990 à 1010, centré à 1000 Hz) est copié et décalé à des multiples entiers de 100, n'est-ce pas?

Alors maintenant, tout à coup, vous avez une copie de votre signal d'origine 990-1010, sauf que maintenant vous en avez un centré sur 900, 800, 700, 600, etc., etc., ainsi que 1100, 1200, 1300, etc. etc. Le BW est le même bien sûr. Ainsi, votre copie de votre signal centrée sur 900 occupe 890-910 Hz. La copie assise à 800 Hz occupe 790-810 Hz, et ainsi de suite. Vous aurez également une copie en «bande de base» (ce qui signifie qu'elle est centrée sur 0 Hz et occupe donc -10 à 10 Hz).

Alors, quand est-ce utile? Eh bien, regardez ce que vous venez de faire - vous avez juste réussi à prendre votre signal assis à 1000 Hz, à le mettre en bande de base, et tout cela avec un échantillonneur fonctionnant à seulement 100 Hz! Et devine quoi! Vous avez fait tout cela légalement selon Nyquist!

C'est parce que Nyquist ne dit pas que vous devez échantillonner au moins deux fois la fréquence maximale - mauvais faux mauvais faux mauvais! (Mais idée fausse très courante.) Il dit que vous devez échantillonner au moins deux fois la bande passante maximale de votre signal, qui dans ce cas, est de 20 Hz.

Applications? Eh bien, beaucoup de stations de base pour téléphones portables utilisent en fait cette technique de «sous-échantillonnage». Ainsi, le signal de votre téléphone portable est assis à une gamme élevée de Ghz, et la station de base échantillonne dans la gamme des centaines de Mhz.

Et d'ailleurs, vu comment Nyquist fonctionne réellement, je n'aime pas le terme «sous-échantillonnage» - car cela implique que nous sommes, bien, sous-échantillonnés. Mais nous ne sommes pas! Nous suivons complètement Nyquist et échantillonnons toujours au moins le double de la bande passante maximale du signal en question.

— Spacey
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La réponse la mieux notée ici parlait déjà du sous-échantillonnage en détail. Il est également un peu trompeur de suggérer que les stations de base cellulaires échantillonnent directement à la fréquence radio et utilisent un sous-échantillonnage. Bien qu'il puisse y avoir un élément de sous-échantillonnage utilisé, de bons récepteurs convertissent généralement de RF en fréquence intermédiaire (IF) qui convient à l'échantillonnage. Parmi de nombreuses autres raisons, l'échantillonnage dans les zones supérieures de Nyquist est beaucoup plus sensible à la gigue de la durée d'échantillonnage, vous ne voudriez donc pas le faire pour un signal de plusieurs dizaines de MHz centré sur 1-2 GHz, par exemple.

— Jason R

Yoda, merci pour les conseils, c'est mon premier post. :-) Je ne connais pas le 'yo-bro'speak dont vous parlez, je suis un orateur / écrivain passionné en général! Je garderai cependant les majuscules aux acronymes! :-) Jason, Pour les stations de base, j'ai dit des centaines de MHz et non des dizaines. J'ai utilisé 20 Hz dans l'exemple. J'ai personnellement travaillé sur de telles stations et elles fonctionnent très bien. :-)

— Spacey