Pourquoi les filtres FIR sont-ils toujours stables même s'ils contiennent des pôles?

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Comment se fait-il que les filtres FIR soient toujours stables?
Puisqu'ils contiennent des pôles, ne devraient-ils pas être plus affectés par les problèmes de stabilité que les autres?

filters finite-impulse-response

— user7277
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FIR est stable si tout son zéro est situé dans le cercle d'unité

— dato datuashvili

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Pas vrai: FIR est toujours stable et les zéros peuvent être où ils veulent, y compris en dehors du cercle unitaire. Exemple: le filtre [1 -6 11 -6] a des zéros à z = 1, 2 et 3

— Hilmar

encore une fois, @ Hilmar, cela dépend de la façon dont le FIR est mis en œuvre. Les FIR implémentées en tant que RII tronqué (TIIR) peuvent ne pas être stables à l'intérieur. mis en œuvre comme un simple filtre FIR transversal, oui, qui est toujours stable. il est stable même s'il est implémenté en utilisant une "convolution rapide" (en utilisant une FFT et "overlap-add" ou "overlap-save"). et parfois lorsqu'il est implémenté en tant que filtre TIIR, il est stable (si l'IIF interne est stable). mais une FIR implémentée en tant que TIIR pourrait être instable en interne.

— robert bristow-johnson

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Les filtres FIR ne contiennent que des zéros et aucun pôle. Si un filtre contient des pôles, c'est IIR. Les filtres IIR souffrent en effet de problèmes de stabilité et doivent être manipulés avec précaution.

ÉDITER:

Après une réflexion plus approfondie et quelques gribouillages et recherches sur Google, je pense avoir une réponse à cette question des pôles FIR qui, espérons-le, sera satisfaisante pour les parties intéressées.

Commençant par la transformée en Z d'un filtre FIR apparemment sans polarité: Comme le montre la réponse de RBJ, les pôles FIR sont révélés en multipliant le numérateur et le dénominateur depar:

H (z) = \frac{b_{0} + b_{1} z^{- 1} + b_{2} z^{- 2} + \dots + b_{N} z^{- N}}{1}

$H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \cdots + b_N z^{-N}}{1}$

H (z)

$H(z)$

z^{N}

$z^{N}$

Donnant ainsi nos

pôles à l'origine d'un filtre FIR général.

H (z) = \frac{b_{0} z^{N} + b_{1} z^{N - 1} + b_{2} z^{N - 2} + \dots + b_{N}}{z^{N}}

$H(z) = \frac{b_0 z^{N} + b_1 z^{N-1} + b_2 z^{N-2} + \cdots + b_N }{z^{N}}$

N

$N$

Cependant, afin de le montrer, l'hypothèse de causalité est placée sur le filtre. En effet, si l'on considère un filtre FIR plus général où la causalité n'est pas supposée: Un nombre différent de pôlesapparaît à l'origine:

g (z) = \frac{b_{0} z^{k} + b_{1} z^{k - 1} + b_{2} z^{k - 2} + \dots + b_{N} z^{k - N}}{1}

$G(z) = \frac{b_0 z^{k} + b_1 z^{k-1} + b_2 z^{k-2} + \cdots + b_N z^{k-N}}{1}$

(N - k)

$(N-k)$

g (z) = \frac{b_{0} z^{N} + b_{1} z^{N - 1} + b_{2} z^{N - 2} + \dots + b_{N}}{z^{N - k}}

$G(z) = \frac{b_0 z^{N} + b_1 z^{N-1} + b_2 z^{N-2} + \cdots + b_N }{z^{N-k}}$

Ainsi, je conclus ce qui suit:

(Répondre à la question d'origine) En général, un filtre FIR a des pôles, bien que toujours à l'origine du plan Z. Parce qu'ils ne sont jamais au-delà du cercle unitaire, ils ne menacent pas la stabilité d'un système FIR.
$N$ $k$ $N^{th}$ $(k=0)$ $N$
$H (z) = z^{- 1} = \frac{1}{z}$ $H(z) = z^{-1} = \frac{1}{z}$

— Kenneide
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Les filtres IIR ne sont pas très dangereux en fait.

— user7358

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$z=0$ .

parce que tous les pôles sont situés à l'intérieur du cercle unitaire, le filtre FIR est ostensiblement stable.

ce n'est probablement pas le filtre FIR auquel l'OP pense, mais il existe une classe de filtres FIR appelés filtres IIR tronqués (TIIR) qui peuvent avoir un pôle sur ou à l'extérieur du cercle unitaire qui est annulé par un zéro au même endroit. l'exemple le plus simple est la somme mobile ou la moyenne mobile. mais, du point de vue des E / S, ces filtres TIIR sont FIR.

mais je ne garantirais pas naïvement la "stabilité". en utilisant le langage du système de contrôle, le filtre TIIR n'est pas "complètement observable" et peut sembler stable parce que sa réponse impulsionnelle semble de longueur finie, mais à l'intérieur des états du filtre pourrait aller en enfer, et avec une précision numérique finie, cette instabilité interne finira par apparaître à la sortie.

nous devons nous désabuser de l'idée que "les filtres FIR n'ont pas de pôles" . ce n'est pas vrai.

— robert bristow-johnson
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Pouvez-vous montrer mathématiquement que les filtres FIR ont des pôles, parce que je ne le vois pas.

— Jim Clay

Le meilleur exemple de FIR à pôles est le filtre en cascade à peigne intégré (CIC). Il commence par un simple filtre de moyenne mobile (coefficients comme 1, 1, 1, 1) et le réécrit récursivement - introduisant ainsi un pôle. Voir lien . Celles-ci sont souvent implémentées sur des FPGA comme première étape de la conversion descendante car sous leur forme récursive, elles sont assez bon marché à implémenter par calcul. Voir la documentation Graychip à titre d'exemple. Ils sont généralement mis en œuvre en virgule fixe pour maintenir la stabilité.

— David

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Je pense que nous devrons accepter d'être en désaccord - le résumé de l'article original de Hogenauer se lit comme suit: "Une classe de filtres numériques à réponse impulsionnelle finie en phase linéaire (FIR) pour la décimation (diminution du taux d'échantillonnage) et l'interpolation (augmentation du taux d'échantillonnage) sont présentés."

— David

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N^{t h}

$N^{th}$

N

$N$

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@JimClay, un filtre CIC à somme mobile ou moyenne mobile est très certainement un filtre FIR. son IR est F. il n'est normalement pas implémenté comme un filtre FIR transversal, mais il pourrait certainement l'être si vous vouliez le payer avec MIPS.

— robert bristow-johnson

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"Pouvez-vous montrer mathématiquement que les filtres FIR ont des pôles, parce que je ne le vois pas." - Jim Clay

peut-on supposer que cette FIR est causale?

$N$ $N+1$

la réponse impulsionnelle finie: $\quad h[n] = 0 \quad \forall \quad n>N, \ n<0$

fonction de transfert de la FIR:

\begin{aligned} H (z) & = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} h [n] z^{- n} \\ = \sum_{n = 0}^{N} h [n] z^{- n} \\ = \sum_{n = 0}^{N} z^{- N} h [n] z^{N - n} \\ = z^{- N} \sum_{n = 0}^{N} h [N - n] z^{n} \\ = \frac{\sum_{n = 0}^{N} h [N - n] z^{n}}{z^{N}} \\ = \frac{h [N] + h [N - 1] z + h [N - 2] z^{2} + \dots + h [1] z^{N - 1} + h [0] z^{N}}{(z - 0)^{N}} \end{aligned}

$\begin{align} H(z) & = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] z^{-n} \\ & = \sum_{n=0}^{N} h[n] z^{-n} \\ & = \sum_{n=0}^{N} z^{-N} h[n] z^{N-n} \\ & = z^{-N} \sum_{n=0}^{N} h[N-n] z^n \\ & = \frac{\sum_{n=0}^{N} h[N-n] z^{n}}{z^N} \\ & = \frac{h[N] + h[N-1]z + h[N-2]z^2 + \cdots + h[1]z^{N-1} + h[0]z^N}{(z-0)^N} \\ \end{align}$

il vous suffit de factoriser le numérateur et vous saurez où sont les zéros. mais il est assez évident où tous les pôles sont pour un filtre FIR. et il y a autant de pôles que l'ordre du filtre FIR. notez que ces pôles n'affectent pas la réponse en fréquence. sauf pour la phase.

— robert bristow-johnson
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Je me suis trompé. Merci pour l'explication.

— Jim Clay

1

Un peu par définition, en fait. Étant donné que vous entrez de l'énergie finie et que le filtre ne fournira au maximum qu'un multiple de l'énergie fournie (sa réponse impulsionnelle a une énergie finie), le signal résultant aura au maximum un multiple de l'énergie fournie. Il ne peut pas résonner et donc dégénérer, comme le peuvent les filtres IIR. C'est aussi derrière la réponse de Kenneides.

— user7358
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oui, et c'est aussi faux que la réponse de Kenneide.

— robert bristow-johnson

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Cher Robert Bristow-Johnson, veuillez nous éclairer, mortels. D'où vient le filtre FIR

H (z) = 1

$H(z)=1$ avoir un poteau?

— user7358

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ok, bon point là-bas. le filtre FIR ou IIR d'ordre 0 (parfois appelé "fil") n'a pas de pôles ni de zéros (sauf si vous voulez penser à

H (z) = 1 = \frac{z}{z}

$H(z) = 1 = \frac{z}{z}$ où le pôle et le zéro s'annulent). Je me suis trompé.

— robert bristow-johnson

L'unité tarde-t-elle

H (z) = z

$H(z)=z$ avoir un poteau?

— user7358

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eh bien, c'est une avance d' unité . mais le délai unitaire,

H (z) = z^{- 1}

$H(z) = z^{-1}$ n'ont un seul pôle à

z = 0

$z=0$ .

— robert bristow-johnson

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Personne n'a vraiment expliqué pourquoi les pôles d'un filtre FIR sont amovibles, j'ai donc essayé de répondre à cette question ci-dessous.

Les filtres FIR auront des pôles amovibles à l'origine, car la limitation de leur réponse impulsionnelle l'exige. C'est autour du pôle, il est possible de définir la fonction de façon à ce qu'elle soit toujours holomorphe (différentiable en tout point de son domaine).

C'est un théorème de Riemann que si un signal est différenciable en chaque point de son domaine (sauf pour un nombre fini de points), alors il existe un voisinage autour de ces points spéciaux où la fonction est bornée. Les implications sont à double sens dans ce théorème, donc parce que les filtres FIR doivent avoir une réponse impulsionnelle bornée, alors la réponse impulsionnelle doit être différenciable en tout point du cercle unitaire. Ainsi, le signal peut être étendu de manière cohérente afin qu'il n'y ait pas de singularités (c'est-à-dire que les pôles sont amovibles).

C'est pourquoi la transformée en z d'un filtre FIR ne contient aucun pouvoir négatif de $z$ .

— Tom Kealy
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Tom, je pense que la transformée en Z d'une FIR réalisable ne contient que des pouvoirs négatifs de

z

$z$ . eh bien, seuls les pouvoirs non positifs de

z

$z$ .

— robert bristow-johnson

@ robertbristow-johnson désolé, oui. Je pensais à une fonction génératrice. Cependant, je ne pense pas que la réponse ci-dessus change sous l'action de

z

$z$ ->

z^{- 1}

$z^{-1}$ .

— Tom Kealy