Transformée de Fourier à temps discret

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Je suis un lycéen qui a une fascination générale pour l'électronique, la programmation, etc. Récemment, j'ai appris le traitement du signal.

Malheureusement, je n'ai pas encore fait beaucoup de calcul (pardonnez-moi), donc je suis un peu flou sur les choses.

Si vous deviez calculer la DTFT d'un signal, quelle serait la différence entre une représentation ou de ce signal? $\sin$ $\cos$
Avec le DTFT, je comprends que le signal que vous entrez serait discret dans le temps, mais comment diable pouvez-vous obtenir un signal continu dans le domaine fréquentiel?
Cela m'amène à ma deuxième question, qui est: comment le DTFT est-il utile? Où a-t-il été utilisé avec la plupart des applications et pourquoi?

J'apprécierais toute aide.

fourier-transform

— ElectroNerd
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Pour ma première question, je suppose qu'il est simplement déphasé de 90 °. Cependant, j'ai produit des graphiques qui indiquent le contraire: i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/... i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/...

— ElectroNerd

Excellentes questions. J'ai créé une (des) réponse (s) à ces problèmes, en particulier en ce qui concerne la façon dont le DSP est porté à l'esprit des jeunes. (Cela est particulièrement vrai au niveau universitaire). Envoyez-moi un e-mail et je peux vous montrer une partie du matériel (trop impliqué pour le poster ici).

— Spacey

@Mohammad: Salut, pouvez-vous partager ces documents avec moi à abidrahman2@gmail.com?

— Abid Rahman K

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C'est formidable que vous soyez intéressé par le traitement du signal à ce stade précoce de votre parcours éducatif.

Le meilleur chemin pour y arriver est de lire quelques livres d'introduction sur le sujet. Il y a beaucoup de bonnes ressources en ligne gratuites pour vous aider à démarrer. [Note à l'éditeur estimé: de bons livres d'introduction peuvent être un très bon sujet pour un "collant"]. J'utilise parfois

L'un des concepts mathématiques les plus importants dont vous aurez besoin pour vous déplacer est les nombres «complexes». C'est clairement un terme impropre car ce n'est vraiment pas si compliqué et rend clairement presque toutes les mathématiques d'ingénierie beaucoup plus simples. Une autre excellente ressource gratuite pour tout ce qui concerne les mathématiques est http://www.khanacademy.org et dans ce cas spécifiquement http://www.khanacademy.org/video/complex-numbers--part-1?topic=core-algebra

Revenons à votre première question: il existe en fait quatre versions différentes de la transformation de Fourier: la série Fourier (la plus susceptible d'apparaître au lycée), la transformation de Fourier, la transformation Fourier discrète et la série Fourier discrète. Tous utilisent une combinaison de sinus et de cosinus (ou une exponentielle complexe, qui est essentiellement la même chose). Vous aurez besoin des deux.

Disons que vous calculez les coefficients de Fourier sinus et cosinus d'une onde sinusoïdale d'entrée. (Sous certaines conditions), vous constaterez que tous les coefficients de Fourier seront nuls, à l'exception d'un cosinus et d'un coefficient sinus. Cependant, selon la phase de l'onde sinusoïdale d'entrée, ces deux nombres se déplaceront. Vous pouvez obtenir [0,707 0,707], ou [1 0], ou [0 -1], ou [-0,866 0,5] etc. Vous verrez que la somme des carrés de ces deux nombres sera toujours 1, mais la valeur réelle les valeurs dépendent de la phase de l'onde sinusoïdale d'entrée.

Si vous voulez plonger en profondeur, essayez ceci: http://www.dsprelated.com/dspbooks/mdft/

— Hilmar
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Salut Hilmar, merci pour la réponse! J'ai fait beaucoup de choses avec des nombres complexes et je suis d'accord: ils sont relativement simples. C'est bon à entendre. Après avoir joué un peu plus, j'ai calculé l'amplitude d'un signal d'entrée sin et cos vers le DTFT et j'ai constaté que l'amplitude était la même pour sin et cos. Merci surtout pour les ouvrages de référence, je serai occupé depuis un moment maintenant.

— ElectroNerd

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Vous voudrez peut-être regarder les documents disponibles sur

Le projet INFINITY: étendre l'enseignement de l'ingénierie basé sur le traitement du signal à la salle de classe du secondaire

disponible ici

— Dilip Sarwate
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Cela semble très intéressant; Je peux essayer de le recommander à mon école.

— ElectroNerd

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La transformée de Fourier à temps discret DTFT prend un signal infini discret comme son entrée et sa sortie dans le domaine fréquentiel est continue et a une période de 2 * pi. En ce qui concerne son utilisation, d'après mon expérience, la DFT (Discrete Fourier Transform) est celle qui est utilisée à des fins pratiques. Dans certaines conditions, il est facile de montrer que la DFT d'un signal non périodique fini n'est rien d'autre que des échantillons équidistants de DTFT. En général, si nous remplissons à zéro la séquence dans le domaine temporel (ou spatial), nous obtenons de plus en plus d'échantillons du DTFT.

En fin de compte, la DFT est très utile et la DFT peut être considérée comme des échantillons de DTFT également espacés, pour obtenir plus d'échantillons de DTFT, faire un pad zéro du signal aide.

— pv.
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Cela a du sens: on m'a dit que plus vous échantillonnez dans le domaine temporel, plus la résolution sera fine dans le domaine fréquentiel une fois que vous calculez le DTFT. J'ai représenté cela en utilisant Python et matplotlib ( Sine + padding zéro , DTFT de padding zéro C'est une astuce à faire.

— ElectroNerd

Je dois dire que vous devez faire attention ici. Une grande idée fausse est que le remplissage nul de votre signal augmente votre résolution de fréquence - ce n'est pas le cas. La seule façon d'augmenter vraiment votre résolution de fréquence est d'avoir plus de données - plus d'échantillons de domaine temporel. Cela étant dit, le remplissage nul aide si vous voulez regarder votre spectre de fréquences avec des points interpolés entre ce que vous avez vraiment calculé.

— Spacey

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Tout d'abord, cela permet de trier la terminologie:

Une fonction dans le domaine temporel est appelée signal .
Une fonction dans le domaine fréquentiel est connue sous le nom de spectre .

a_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) \cos n x d x

$a_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\cos{nx}}\mkern3mudx$

b_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) \sin n x d x

$b_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\sin{nx}}\mkern3mudx$

s_{f} (x) = \frac{a_{n}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos (n x) + b_{n} s i n (n x)

$s_f(x)=\frac{a_n}2+\sum_{n=1}^\infty{a_n\cos(nx)+b_nsin(nx)}$

s_{f} (x) = s (x)

$s_f(x)=s(x)$

Dans cette équation, a _n et b _n sont respectivement les parties réelle et imaginaire du spectre discret. Par conséquent, comme vous pouvez le voir, la transformée de Fourier d'un cosinus sera un nombre réel, et pour un sinus, ce sera un nombre imaginaire. Le T sur l'intégrale signifie que nous intégrons sur une période complète du signal. Ceci est principalement utilisé dans ce qu'on appelle l'analyse harmonique, que j'ai surtout utilisée lors de l'analyse de circuits analogiques avec des signaux non sinusoïdaux (ondes carrées, ondes triangulaires, etc.) Mais que se passe-t-il si le signal n'est pas périodique? Cela ne fonctionne pas et nous devons nous tourner vers la transformée de Fourier.

La transformée de Fourier convertit un signal continu en un spectre continu. Contrairement à la série de Fourier, la transformée de Fourier permet de convertir une fonction non périodique en spectre. Une fonction non périodique donne toujours un spectre continu.

La transformée de Fourier à temps discret obtient le même résultat que la transformée de Fourier, mais fonctionne sur un signal discret (numérique) plutôt que continu (analogique). Le DTFT peut générer un spectre continu car, comme auparavant, un signal non périodique produira toujours un spectre continu - même si le signal lui-même n'est pas continu. Un nombre infini de fréquences sera toujours présent dans le signal, même s'il est discret.

Donc, pour répondre à votre question, le DTFT est sans doute le plus utile, car il fonctionne sur des signaux numériques, et nous permet donc de concevoir des filtres numériques. Les filtres numériques sont loinplus efficace que les analogues. Ils sont beaucoup moins chers, beaucoup plus fiables et beaucoup plus faciles à concevoir. Le DTFT est utilisé dans plusieurs applications. Du haut de ma tête: synthétiseurs, cartes son, matériel d'enregistrement, programmes de reconnaissance vocale et vocale, appareils biomédicaux et plusieurs autres. Le DTFT dans sa forme pure est principalement utilisé pour l'analyse, mais le DFT qui prend un signal discret et produit un spectre discret est programmé dans la plupart des applications ci-dessus et fait partie intégrante du traitement du signal en informatique. L'implémentation la plus courante de la DFT est la transformée de Fourier rapide. C'est un algorithme récursif simple qui peut être trouvé ici . J'espère que ça aide! N'hésitez pas à commenter si vous avez des questions.

— Zetta Suro
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Comme pv. ladite DFT est obtenue en échantillonnant la DTFT dans "Frequency Domain". Comme vous le savez peut-être, un signal à temps discret est obtenu en échantillonnant un signal à temps continu. Cependant, pour construire le signal à temps continu parfaitement à partir de son homologue à temps discret, le taux d'échantillonnage DOIT être supérieur au taux de Nyquist. Pour ce faire, le signal à temps continu doit être limité en fréquence.

Pour le DTFT et le DFT, l'histoire est en quelque sorte inversée. Vous avez un DTFT qui est continu dans le domaine "Frequency". Fondamentalement, vous ne pouvez pas stocker un signal continu et le traiter dans un ordinateur. La solution, c'est l'échantillonnage! Ainsi, vous échantillonnez à partir du DTFT et appelez le résultat DFT. Cependant, selon le théorème d'échantillonnage pour reconstruire parfaitement la DTFT à partir de la DFT, la contrepartie du domaine temporel de la DTFT DOIT être limitée dans le temps. C'est pourquoi il faut utiliser le fenêtrage avant de prendre le DFT.

— Sina
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