Comment puis-je trouver la réponse impulsionnelle d'un système à partir de sa représentation espace-état en utilisant la matrice de transition d'état?

Supposons que nous ayons un linéaire représenté dans la notation standard de l'espace d'état:

$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$$ $$y(t) = Cx(t) + Du(t)$$

Pour obtenir sa réponse impulsionnelle, il est possible de prendre sa transformée de Laplace pour obtenir

Y = C X + D

$$sX=AX+BU$$ $$Y=CX+DU$$

puis résoudre la fonction de transfert qui est

$$\frac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B+D$$

De même, pour un système discret, la transformation de $\mathcal{Z}$

$$x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]$$ $$y[n] = Cx[n] + Du[n]$$

est

$$\frac{Y}{U}=C(zI-A)^{-1}B+D$$

Ce processus semble un peu long et je me souviens qu'il existe un moyen de trouver la réponse impulsionnelle en utilisant la matrice de transition d'état qui est la solution pour des premières équations de chaque paire. Est-ce que quelqu'un sait comment faire ça?$x$

Vous pouvez aborder le problème en utilisant la matrice de transition d'état en résolvant l'ODE non homogène standard dans la première équation. La solution à est$\dot{x}(t)=A x(t) + B u(t)$

$$x(t)=x_0 e^{At}+\int_{0}^te^{A(t-t')}Bu(t')dt'$$

où . La quantité e A t est appelée matrice de transition d'état (également la solution à l'OD homogène), que j'appellerai Ξ ( t ) (je ne me souviens pas de la notation standard pour cela). En prenant x 0 = 0 , l'équation pour y ( t ) devient$x_0=x(0)$$e^{At}$$\Xi(t)$$x_0=0$$y(t)$

$$y(t)=C\int_0^t\Xi(t-t')Bu(t')dt'+Du(t)$$

$\Xi(t)=e^{At}$$(sI-A)^{-1}$

$$Y=C(sI-A)^{-1}BU+DU$$

ce qui vous donne la même fonction de transfert que dans votre question.

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En ce qui concerne votre commentaire sur l'approche entièrement transformée de Laplace étant long, je ne dirais pas nécessairement qu'il en est ainsi. Cependant, l'approche de la matrice de transition d'état peut être plus simple à mettre en œuvre , car plusieurs opérations la impliquant peuvent être calculées avec de simples multiplications matricielles et rien de plus.