Dériver la transformée de Fourier du cosinus et du sinus

Dans cette réponse, Jim Clay écrit:

... utilisez le fait que ...$\mathcal F\{\cos(x)\} = \frac{\delta(w - 1) + \delta(w + 1)}{2}$

L'expression ci-dessus n'est pas trop différente de .$\mathcal F\{{\cos(2\pi f_0t)\}=\frac{1}{2}(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0))}$

J'ai essayé d'obtenir la dernière expression en utilisant la définition standard de la transformée de Fourier mais tout ce que je me retrouve avec est une expression si différente de ce qui est apparemment la réponse.$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}dt$

Voici mon travail:

$$\begin{align} x(t)&=\cos(2\pi f_0t)\\ \Longrightarrow \mathcal F\left\{x(t)\right\}&=\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(2\pi f_0t)e^{-j2\pi ft}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac 12 \left(e^{-j2\pi f_0t}+e^{j2\pi f_0t}\right)e^{-j2\pi ft}dt\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi f_0t}e^{-j2\pi ft}+e^{j2\pi f_0t}e^{-j2\pi ft}\right)dt\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t\left(f_0+f\right)}+e^{-j2\pi t\left(f-f_0\right)}\right)dt\\ &=\frac{1}{2}\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t(f_0+f)}\right)dt+\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t(f-f_0)}\right)\right) dt \end{align}$$

C'est là que je suis coincé.

Votre travail est OK sauf pour le problème que la transformée de Fourier de n'existe pas dans le sens habituel d'une fonction de , et nous devons étendre la notion pour inclure ce qu'on appelle des distributions, ou des impulsions, ou des deltas de Dirac, ou (comme nous, les ingénieurs ont l'habitude de le faire, au grand dégoût des mathématiciens) des fonctions delta . Lisez les conditions qui doivent être remplies pour que la transformée de Fourier du signal existe (au sens habituel) et vous verrez que n'a pas une transformée de Fourier au sens habituel.$\cos(2\pi f_0 t)$$f$$X(f)$$x(t)$$\cos(2\pi f_0 t)$

En ce qui concerne votre question spécifique, une fois que vous comprenez que les impulsions sont définies uniquement en termes de la façon dont elles se comportent comme des intégrales dans une intégrale, c'est-à-dire pour , condition que soit continu à , alors il est plus facile de déduire la transformée de Fourier de en réfléchissant au fait que et il faut donc que soit l' inverse Transformée de Fourier de$a < x_0 < b$

$$\int_{a}^{b} \delta(x-x_0)g(x)\,\mathrm dx = g(x_0)$$ $g(x)$$x_0$ $$\cos(2\pi f_0 t) = \left.\left.\frac{1}{2}\right[e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t}\right]$$ $$\int_{-\infty}^\infty \delta(f-f_0)e^{j2\pi ft}\,\mathrm df = e^{j2\pi f_0t}$$ $\cos(2\pi f_0 t)$$\displaystyle \left.\left.\frac{1}{2}\right[\delta(f-f_0) + \delta(f+f_0)\right]$ .

Ensuite, utilisez simplement une table de paires de transformées de Fourier pour voir que , et la substitution de variables ( et ), pour obtenir ce dont vous avez besoin.$\delta(t) \leftrightarrow 1$$f_1 = f+f_0$$f_2 = f-f_0$