Existe-t-il un moyen d'obtenir la réponse impulsionnelle d'un système discret simplement en sachant que c'est la réponse à la fonction de pas d'unité discrète?

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En temps continu, c'était possible;

u (t) ⟶ system ⟶ y (t) ⟹ δ (t) = \frac{d u (t)}{d t} ⟶ système ⟶ \frac{d y (t)}{ré t} = h (t)

$u(t){\longrightarrow} \boxed{\quad\textrm{system}\quad} {\longrightarrow} y(t)\implies \delta(t)=\frac{du(t)}{dt}{\longrightarrow}\boxed{\quad\textrm{system}\quad}{\longrightarrow} \frac{dy(t)}{dt}=h(t)$

Est-ce la même chose pour le système à temps discret, c'est-à-dire que

δ [t] = \frac{ré u [t]}{ré t} où: {\begin{cases} δ [t] & est le delta de temps discret \\ u [t] & est la fonction de pas d'unité de temps discrète \end{cases}

$\delta[t]=\frac{du[t]}{dt} \quad\textrm{where:}\begin{cases} \delta[t] &\textrm{is the discrete time delta}\\ u[t] & \textrm{is the discrete time unit step function}\end{cases}$

Existe-t-il un moyen d'obtenir la réponse impulsionnelle d'un système discret en connaissant simplement la réponse de l'étape d'unité discrète?

discrete-signals linear-systems

— pyler
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Super question! Bienvenue sur DSP.SE. Restez et contribuez!

— Phonon

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Une version plus simple de la réponse de Phonon est la suivante.

Supposons que désigne la réponse du système à la fonction de pas d'unité. Ensuite, comme indiqué dans cette réponse , en général, est la somme des copies mises à l'échelle et temporisées de la réponse impulsionnelle, et dans ce cas particulier, aucune mise à l'échelle n'est requise; seulement des retards. Ainsi, où chacun colonne de droite est une réponse impulsionnelle (non mise à l'échelle et) temporisée. Ainsi, nous obtenons facilement que $y$ $y$

\begin{aligned} y [0] & = h [0] \\ y [1] & = h [1] + h [0] \\ y [2] & = h [2] + h [1] + h [0] \\ y [3] & = h [3] + h [2] + h [1] + h [0] \\ ⋮ & = ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} y[0] &= h[0]\\ y[1] &= h[1] + h[0]\\ y[2] &= h[2] + h[1] + h[0]\\ y[3] &= h[3] + h[2] + h[1] + h[0]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$

\begin{aligned} h [0] & = y [0] \\ h [1] & = y [1] - y [0] \\ h [2] & = y [2] - y [1] \\ ⋮ & = ⋮ \\ h [n] & = y [n] - y [n - 1] \\ ⋮ & = ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} h[0] &= y[0]\\ h[1] &= y[1]-y[0]\\ h[2] &= y[2]-y[1]\\ \vdots~ &= ~\vdots\\ h[n] &~= y[n] - y[n-1]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$ avec à peine une mention des filtres, des inverses, des convolutions, de l'intégration, des opérateurs et similaires, juste des conséquences simples de la définition d'un système linéaire invariant dans le temps.

— Dilip Sarwate
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Vous l'avez clairement fait plus longtemps que moi =)

— Phonon

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Oui, cela est également vrai dans le cas des systèmes discrets. L'opération de différenciation dans ce cas est remplacée par une différence de premier ordre. Il ne pense pas qu'il ait un symbole universel, mais appelons-le . Cette opération équivaut à filtrer votre signal avec . Appelons ce filtre . Je vais désigner la convolution que le symbole . $D(\cdot)$ $y[n] = x[n] - x[n-1]$ $d[n]$ $*$

Appliquons maintenant ce que nous savons de la convolution à cet opérateur. Nous savons que nous obtenons avec une somme courante (intégrateur discret) sur . En fait, le système représenté par lui-même se révèle être cet intégrateur discret. Notez également que ces deux opérateurs sont inverses l'un de l'autre, et que spécifiquement . $u[n]$ $\delta[n]$ $u[n]$ $u[n] * d[n] = \delta[n]$

Maintenant, nous savons que la convolution est commutative, c'est-à-dire

une [n] * b [n] = b [n] * une [n]

$a[n]*b[n] = b[n]*a[n]$

et associative, c'est-à-dire

(une [n] * b [n]) * c [n] = une [n] * (b [n] * c [n])

$\left(a[n] * b[n]\right) * c[n] = a[n] * \left(b[n] * c[n]\right)$

Donc,

X [n] = δ [n] * X [n] = u [n] * ré [n] * X [n] = ré [n] * u [n] * X [n] = ré [n] * (u [n] * X [n])

$x[n] = \delta[n] * x[n] = u[n] * d[n] * x[n] = d[n] * u[n] * x[n] = d[n] * \left(u[n] * x[n]\right)$

Ainsi, vous pouvez voir que vous pouvez récupérer de en appliquant la différence de premier ordre, tout comme dans le cas continu. $x[n]$ $\left(u[n] * x[n]\right)$

— Phonon
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Hypothèses:

Domaine temporel continu : Soit - réponse impulsionnelle, et - réponse pas à pas $h(t)$ $s(t)$
Domaine temporel discret : Soit - réponse impulsionnelle unitaire, et - réponse pas à pas unitaire $h[n]$ $s[n]$

Intuitivement parlant, l'intégration dans le domaine temporel continu équivaut à la somme dans le domaine temporel discret. De même, la dérivée dans le domaine temporel continu est équivalente à la différence finie dans le domaine discret.

Avec cette compréhension intuitive, considérez la relation entre et (côté gauche de la deuxième équation dans votre message): $u$ $\delta$

Domaine temporel continu: $u(t) = \int \delta(t)$
Domaine temporel discret: $u[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k]$

De même, considérez la relation entre et (côté droit de la deuxième équation dans votre message): $s$ $h$

Domaine temporel continu: $s(t) = \int h(t)$
Domaine temporel discret: $s[n] = \sum_{k=0}^{\infty} h[n-k]$

Maintenant, si vous regardez attentivement la dernière équation:

s [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} h [n - k]

$s[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[n-k]$

Maintenant peut être trouvé à partir de cette équation en utilisant la différence finie de avec une version retardée de lui-même, c'est-à-dire avec : $h[n]$ $s[n]$ $s[n-1]$

h [n] = s [n] - s [n - 1]

$h[n] = s[n] - s[n-1]$

— nurabha
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