Interprétation intuitive de la transformée de Laplace

Je commence donc à saisir avec les transformées de Fourier. Intuitivement maintenant, je comprends vraiment ce qu'il fait et suivrai bientôt quelques cours sur les mathématiques (donc le sujet réel). Mais ensuite, je continue à lire sur la transformation de laplace et là, je la perds en quelque sorte. Quel est le moment d'un signal? Pourquoi la transformée de Fourier est-elle un cas particulier de la transformée de Laplace? Comment puis-je comprendre la transformation de Laplace?

J'ai regardé ces sources avant de poser cette question:

Qu'entend-on par «réponse impulsionnelle» et «réponse en fréquence» d'un système?

Comment distinguer les différents domaines de fréquence?

Réponse amplitude vs fréquence

Pourquoi la transformée de Fourier est-elle si importante?

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

Si vous comprenez les transformées de Fourier, vous avez probablement déjà un modèle conceptuel de transformation des signaux dans le domaine fréquentiel. La transformée de Laplace fournit une représentation alternative du domaine fréquentiel du signal - généralement appelé le "domaine S" pour le différencier des autres transformées du domaine fréquentiel (telles que la transformée Z - qui est essentiellement un équivalent discrétisé de la transformée de Laplace).

Quel est le moment d'un signal?

Comme vous le savez sans doute, la transformée de Laplace nous donne une description d'un signal à partir de ses moments, semblable à la façon dont la transformée de Fourier nous donne une description de la phase et des amplitudes.

D'une manière générale, un moment peut être considéré comme la façon dont un échantillon s'écarte de la valeur moyenne d'un signal - le premier moment est en fait la moyenne, le second est la variance, etc. (ceux-ci sont appelés collectivement «moments d'une distribution»)

Étant donné notre fonction F (t), nous pouvons calculer la dérivée nième à t = 0 pour donner notre nième moment. Tout comme un signal peut être décrit complètement en utilisant la phase et l'amplitude, il peut être décrit complètement par toutes ses dérivées.

Pourquoi la transformée de Fourier est-elle un cas particulier de la transformée de Laplace?

Si nous regardons la transformation bilatérale de Laplace:

$s=i\omega$

Il y a quelques notes sur cette relation ( http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Fourier_transform ) mais les mathématiques devraient être assez transparentes.

Pourquoi la transformée de Fourier est-elle un cas particulier de la transformée de Laplace?

$H(s)=\frac{1}{s+1}$

Vu de côté, l'amplitude de cette transformée de Laplace forme une surface, avec le pôle agissant comme un pôle de tente qui élève l'amplitude à l'infini à ce point (et un zéro implicite à l'infini qui diminue l'amplitude à zéro le plus éloigné du origine vous obtenez dans n'importe quelle direction):

Si vous prenez maintenant la valeur de la surface uniquement le long de l'axe j only, c'est la transformée de Fourier. C'est la courbe rouge dans l'image ci-dessus, que vous pouvez voir former un filtre passe-bas. Si vous éloigniez le pôle de l'origine, la tente se déplacerait dans la même direction et la tranche le long de l'axe jω chuterait, réduisant à la fois le gain (que nous compensons en ajoutant le gain global) et augmentant la fréquence de coupure. Je voulais faire des animations de trucs comme ça ...

http://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/733

https://dsp.stackexchange.com/a/9579/29

La meilleure description intuitive de la transformation de Laplace que j'ai jamais vue:

À première vue, il semblerait que la stratégie de la transformée de Laplace soit la même que la transformée de Fourier: corréler le signal du domaine temporel avec un ensemble de fonctions de base pour décomposer la forme d'onde. Pas vrai! Même si les mathématiques sont à peu près les mêmes, la logique derrière les deux techniques est très différente.

La transformée de Laplace peut être considérée comme sondant la réponse impulsionnelle du système avec diverses sinusoïdes en décomposition exponentielle. Les formes d'onde de sondage qui produisent une annulation sont appelées pôles et zéros.

$\omega$$s$$s=j\omega$ qui est une réponse en fréquence).

Il y a une belle analogie pour cela dans un livre:

Maintenant, réfléchissez à la façon dont vous comprenez la relation entre l'élévation et la distance le long de l'itinéraire du train, par rapport à celle du conducteur. Puisque vous avez directement mesuré l'élévation en cours de route, vous pouvez à juste titre affirmer que vous savez tout sur la relation. En comparaison, le conducteur connaît cette même information complète, mais sous une forme plus simple et plus intuitive: l'emplacement des collines et des vallées qui provoquent les creux et les bosses le long du chemin. Bien que votre description du signal puisse consister en des milliers de mesures individuelles, la description du signal par le conducteur ne contiendra que quelques paramètres.