Comment puis-je vectoriser les calculs pour un filtre récursif de premier ordre?

J'ai un simple filtre passe-bas unipolaire (pour le lissage des paramètres) qui peut être expliqué par la formule suivante:

L'architecture que j'utilise a accès à des instructions à instruction unique et à données multiples (SIMD) qui peuvent effectuer plusieurs calculs vectorisés en parallèle. Je voudrais profiter de cette capacité, mais je ne sais pas comment faire cela pour un filtre récursif comme celui-ci. Le problème est que chaque calcul a besoin d'un résultat précédent.

En supposant que vous effectuez des opérations vectorielles $M$ éléments à la fois, vous pouvez dérouler l'équation de la différence par un facteur de $M$assez facilement pour le simple filtre unipolaire. Supposons que vous avez déjà calculé toutes les sorties jusqu'à$y[n]$. Ensuite, vous pouvez calculer les suivants comme suit:

En général, vous pouvez écrire $y[n+k]$ comme:

Pour chaque indice d'échantillon $n+k$, cela ressemble à un filtre FIR avec $k+1$ taps: un tap multiplie la dernière sortie du filtre $y[n]$, et l'autre $k$ les robinets multiplient les entrées du filtre $x[n+1], \ldots , x[n+k]$. La bonne chose est que les coefficients utilisés pour tous ces taps peuvent être précalculés, vous permettant de dérouler le filtre récursif en$M$ $M+1$-appuyez sur des filtres non récursifs parallèles (ces filtres calculent les échantillons de sortie $y[n+1], \ldots , y[n+M]$), en mettant à jour le terme de rétroaction tous les $M$échantillons de sortie. Donc, étant donné une condition initiale$y[n]$ (qui est supposé être la dernière sortie calculée sur la précédente itération vectorisée), vous pouvez calculer la prochaine $M$ sorties en parallèle.

Il y a quelques mises en garde à cette approche:

• Si $M$devient grand, vous finissez par multiplier un ensemble de nombres afin d'obtenir les coefficients FIR effectifs pour les filtres déroulés. Selon le format de votre numéro et la valeur de$a$, cela pourrait avoir des implications de précision numérique.

• De plus, vous ne recevez pas de $M$multipliez par deux cette approche: vous finissez par calculer $y[n+k]$ avec ce qui équivaut à un $k$-filtre le filtre FIR. Bien que vous calculiez$M$ sorties en parallèle, le fait que vous devez faire $k$les opérations de multiplication-accumulation (MAC) au lieu de la simple mise en œuvre récursive de premier ordre diminuent certains des avantages de la vectorisation. L'approche non vectorisée utilise 2 MAC par sortie, vous avez donc besoin$2M$ opérations pour calculer $M$les sorties. Le schéma vectorisé calcule la$M$ sorties à la fois, nécessitant $M+1$MAC en cours. Ainsi, la réduction des opérations peut être exprimée en fonction de$M$ comme:

  $$R = \frac{M+1}{2M} = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{M}\right)$$

  Donc, même avec $M$très grand, vous pouvez obtenir une réduction maximale de 50% du nombre de calculs en utilisant cette méthode. Pour les valeurs communes de$M=4$ et $M=8$, la réduction est respectivement de 37,5% et 43,75%. Cependant, en plus de la réduction pure du nombre d'opérations, vous pouvez bénéficier d'avantages de performances supplémentaires en raison du modèle d'accès à la mémoire différent utilisé par l'approche non déroulée; pour une implémentation plus simple, vous pouvez rencontrer des retards en raison de la dépendance de chaque échantillon de sortie$y[n]$ sur l'échantillon précédent $y[n-1]$. Cet effet est évidemment très dépendant de la plateforme.

En général, vous ne pouvez vectoriser que des ensembles de calculs complètement indépendants. Mais dans votre passe-bas IIR, chaque sortie dépend d'une autre (sauf la 1ère), donc la vectorisation n'est pas possible.

Si votre variable "a" est suffisamment grande pour que (1-a) ^ n décroisse rapidement en dessous du plancher de bruit souhaité ou de l'erreur autorisée, vous pouvez remplacer une courte approximation de filtre FIR pour votre IIR et vectoriser cette convolution à la place. Mais ce n'est pas susceptible d'être plus rapide.

Vous ne pouvez vraiment vraiment le vectoriser efficacement que si vous avez plus d'un signal auquel vous souhaitez appliquer le même filtre, par exemple s'il s'agit d'un signal audio stéréo, vous pouvez traiter les canaux gauche et droit en parallèle. Quatre ou huit canaux en parallèle seraient évidemment encore meilleurs.

Que diriez-vous d'étendre les équations à 4 étapes et d'utiliser la multiplication matricielle? a est constant de sorte qu'une matrice peut être précalculée

Il est plus efficace de vectoriser en parallèle le filtrage de plusieurs flux indépendants.

Si vous n'avez qu'un seul long flux, vous pouvez également diviser le flux en plusieurs sections qui se chevauchent et les filtrer comme s'il s'agissait de flux indépendants.

Vous voulez un chevauchement car les premiers échantillons de chaque flux seront incorrects. La quantité d'échantillons que vous devez jeter dépendra de la valeur de a et de la précision souhaitée. Vous voudrez éliminer environ n échantillons où (1 / a) (1-a) ** n <eps afin que le résultat soit précis à eps * max (| x [i] |).

Par exemple, si a = 0,1, alors dans 128 échantillons, l'erreur provoquée par (1 / a) (1-a) ^ n serait inférieure au LSB dans un entier de 16 bits, tandis que pour a = 0,9, vous n'auriez qu'à supprimer environ 6 échantillons.