Quand utiliser le DTFT vs le DFT (et leurs inverses) en analyse?

Dans beaucoup de mes lectures, chaque fois qu'un auteur parle de travailler dans le domaine de la fréquence (transformation) (d'un signal numérique), il prend souvent la DFT ou la DTFT (et bien sûr leurs inverses correspondants). Différents auteurs auront tendance à travailler avec l'un ou l'autre.

Je n'ai pas pu vraiment déterminer un schéma particulier à ce sujet. En cela, pourquoi choisiriez-vous le DTFT sur le DFT ou vice versa pour expliquer les algorithmes? Où l'un vous aide-t-il par rapport à l'autre?

fft fourier-transform dft

— TheGrapeBeyond
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Le DTFT peut être utilisé lorsque les échantillons ne sont pas également espacés dans le temps, contrairement au DFT.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Ahh bon point.

— TheGrapeBeyond

Réponses:

La DFT et la DTFT sont évidemment similaires car elles génèrent toutes deux le spectre de Fourier des signaux discrets dans le temps. Cependant, alors que le DTFT est défini pour traiter un signal infiniment long (somme de -infini à l'infini), le DFT est défini pour traiter un signal périodique (la partie périodique étant de longueur finie).

Nous savons que le nombre de bandes de fréquences dans votre spectre est toujours égal au nombre d'échantillons traités, donc cela donne également une différence dans les spectres qu'ils produisent: le spectre DFT est discret tandis que le spectre DTFT est continu (mais les deux sont périodiques avec par rapport à la fréquence de Nyquist).

Puisqu'il est impossible de traiter un nombre infini d'échantillons, le DTFT est moins important pour le traitement informatique réel; il existe principalement à des fins analytiques.

Cependant, la DFT, avec sa longueur de vecteur d'entrée finie, est parfaitement adaptée au traitement. Le fait que le signal d'entrée soit supposé être un extrait d'un signal périodique est cependant ignoré la plupart du temps: lorsque vous retransformez un spectre DFT dans le domaine temporel, vous obtiendrez le même signal dont vous avez calculé le spectre en la première place.

Donc, même si cela n'a pas d'importance pour les calculs, vous devez noter que ce que vous voyez là n'est pas le spectre réel de votre signal . C'est le spectre d'un signal théorique que vous obtiendriez si vous répétiez périodiquement le vecteur d'entrée.

Donc, je suppose que dans la littérature que vous mentionnez, chaque fois qu'il est important que le spectre avec lequel vous travaillez soit réellement le spectre et sans tenir compte du côté calcul des choses, l'auteur choisisse le DTFT.

— Nils Werner
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Donc, si un signal n'est jamais réaliste de longueur infinie, alors pourquoi analyser en utilisant le DTFT alors dans de nombreux articles que je vois? Y a-t-il une sorte de facilité ou quelque chose qui va avec?

— TheGrapeBeyond

Plus d' exactitude mathématique que de facilité. C'est-à-dire lorsque vous écrivez une preuve mathématique pour des signaux non périodiques, vous n'avez pas d'autre choix que de supposer que votre signal est de longueur infinie, car c'est ainsi que fonctionne la transformée de Fourier (à la fois discrète et continue).

— Nils Werner

Je n'essaie pas d'être difficile, mais si vous supposez toujours que votre signal est périodique et que le DTFT est plus mathématiquement correct, alors pourquoi utiliser le DFT dans l'analyse alors? Pourquoi utiliser l'un sur l'autre, c'est ce que j'essaie de comprendre lorsque j'analyse des algorithmes?

— TheGrapeBeyond

Lorsque vous voulez penser à transformer des signaux limités dans le temps, vous devez penser que votre signal infini est multiplié par une "fonction de fenêtre", ce qui supprime efficacement la partie qui vous intéresse. Le cas le plus simple serait une fonction rectangulaire; cependant, cette fonction de fenêtre doit être transformée puis convoluée sur le signal également. Cela provoque des taches et ce que l'on appelle l'effet de fuite.

— Nils Werner

Quand utiliser la DFT dans l'analyse. Je suppose que venant du côté mathématique, vous voulez utiliser le DTFT parce que vous n'avez pas besoin de tenir compte des artefacts et une fois que vous êtes descendu dans la couche logicielle, vous passez ensuite à la DFT avec tous les problèmes qu'il apporte à la table.

— Nils Werner

Le DTFT est utilisé lorsque le calcul pour prouver un point est plus facile (économie sur papier et / ou craie) lors de l'hypothèse d'un nombre infini d'échantillons. Ce qui signifie que c'est en fait inutile dans le monde réel (vous serez mort bien avant d'avoir trouvé suffisamment d'échantillons).

La DFT est lorsque vous choisissez un nombre fini utile d'échantillons avec lesquels travailler (vous donnant une belle matrice carrée de taille finie multipliant l'équivalent exact), qu'ils soient périodiques ou non (en supposant que la périodicité de la longueur du cadre est une autre illusion dans l'esprit de certaines personnes pour rendre à nouveau les mathématiques plus maniables). L'utilisation d'un DFT implique donc généralement une fenêtre (rectangulaire, sinon autre) qui n'est pas nécessaire dans le DTFT. Cette fenêtre est livrée avec des artefacts parfois méchants, ainsi que la perte évidente d'informations sur le signal à l'extérieur de la fenêtre, ce qui est un inconvénient de la DFT.

— hotpaw2
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+1 mais pouvez-vous nous expliquer un peu pourquoi la périodicité implicite de la DFT est une illusion?

— Deve

L'hypothèse n'est pas cohérente avec les données réelles en dehors de la fenêtre DFT dans de nombreuses utilisations courantes (audio, etc.)

— hotpaw2

Je vous ai voté, mais pourquoi dites-vous que c'est une illusion que la DFT suppose que les données sont périodiques? Si j'en fais une question, pouvez-vous y répondre?

— TheGrapeBeyond

Peut-être une bonne question pour les sites d'échange de mathématiques, d'utilisation de l'anglais, de psychologie ou de philosophie. L'anthropomorphisation des fonctions d'opérateur peut être un comportement humain intéressant.

— hotpaw2

-2

La DFT est la transformation d'un nombre limité d'échantillons d'un signal périodique. le DTFT est une transformation de tout le signal échantillon de à et une entrée donc pas nécessairement périodique. $-\infty$ $+\infty$

— Ayushi
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