Le noyau gaussien discret est-il une fonction propre de la DFT?

La fonction gaussienne est donc une fonction propre de la transformée de Fourier car elle se transforme en elle-même, non?

Mais ce n'est pas vrai pour le gaussien échantillonné dans la DFT car les queues de la fonction sont tronquées, non?

Wikipedia décrit un noyau gaussien discret ici et ici , qui est différent du gaussien échantillonné discrètement :

la contrepartie discrète de la gaussienne continue en ce qu'elle est la solution de l'équation de diffusion discrète (espace discret, temps continu), tout comme la gaussienne continue est la solution de l'équation de diffusion continue

Est-ce à dire que la DFT se transforme aussi exactement en elle-même? Sinon, existe-t-il une fonction similaire à celle de Gauss?

— endolith
source

Puisque la DFT est représentable par multiplication avec la matrice de Fourier, votre question revient à demander quels sont les vecteurs propres de la matrice de Fourier.

En fait, Wikipedia fournit la réponse ( http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform#Eigenvalues_and_eigenvectors ).

Cependant, comme les valeurs propres ( $1, -1, i, -i$ ) ne sont pas simples, les vecteurs propres ne sont pas uniques (c'est-à-dire que les combinaisons linéaires sont aussi des vecteurs propres). Il n'existe pas non plus de formule fermée simple.

Une formule pour un vecteur propre proche de ce que vous demandez est fournie par Wikipedia

F_{m} = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \exp (- \frac{π \cdot (m + N \cdot k)^{2}}{N}) m = 0, \dots, N - 1

$F_m = \sum_{k = -\infty}^\infty \exp\left(-\frac{\pi\cdot(m+N\cdot k)^2}{N}\right) \quad\quad\quad m = 0,\ldots,N-1$

En conclusion, la fonction gaussienne elle-même n'est pas un vecteur propre, mais une somme infinie de gaussiens. La somme infinie peut probablement être interprétée comme équivalente à la discrétisation du domaine fréquentiel et temporel lorsque l'on passe du FT au DFT. Ce n'est donc pas aussi simple que de tronquer le gaussien discret.

— Andreas H.
source

Une somme infinie de gaussiens n'est-elle pas encore gaussienne?

— TheGrapeBeyond

Non, la convolution des gaussiens est encore gaussienne. La somme n'est gaussienne que si elles ont la même position et la même largeur. Cette fonction est ici en fait une période d'un train d'impulsions gaussiennes discrètes. Donc ça ne ressemble même pas à un gaussien.

— Andreas H.

Ah, je vois. Autrement dit cette somme est essentiellement un train gaussien composé de gaussiens de même variance mais de moyens différents?

— TheGrapeBeyond

exactement. Les moyennes sont espacées exactement de N, la longueur de la TFD.

— Andreas H.

Ah, fascinant. Une dernière chose, c'est un vecteur de longueur infinie, ce qui signifie que la matrice DFT est également de longueur infinie, non?

— TheGrapeBeyond