Application des conditions aux limites de Dirichlet à l'équation de Poisson avec la méthode des volumes finis

Je voudrais savoir comment les conditions de Dirichlet sont normalement appliquées lors de l'utilisation de la méthode des volumes finis sur une grille non uniforme centrée sur les cellules,

Mon implémentation actuelle impose simplement la condition aux limites de ma fixation de la valeur de la première cellule,

$$\phi_1 = g_D(x_L)$$

où est la variable solution et est la valeur de la condition aux limites de Dirichlet aux du domaine ( NB ). Cependant, cela est incorrect car la condition aux limites doit fixer la valeur de la face de la cellule et non la valeur de la cellule elle-même. Ce que je devrais vraiment appliquer,g D ( x L ) x L ≡ x 1 /$\phi$$g_D(x_L)$ $x_L \equiv x_{1/2}$

$$\phi_{L} = g_D(x_L)$$

Par exemple, permet de résoudre l'équation de Poisson,

$$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$$

avec la condition initiale et les conditions aux limites,

$$\rho=-1\\ g_D(x_L)=0 \\ g_N(x_R)=0$$

(où est une condition aux limites de Neumann sur le côté droit).$g_N(x_R)$

Remarquez comment la solution numérique a fixé la valeur de la variable de cellule à la valeur de condition aux limites ( ) sur le côté gauche. Cela a pour effet de déplacer toute la solution vers le haut. L'effet peut être minimisé en utilisant un grand nombre de points de maillage mais ce n'est pas une bonne solution au problème.$g_D(x_L)=0$

Question

De quelles manières les conditions aux limites de Dirichlet sont-elles appliquées lors de l'utilisation de la méthode des volumes finis? Je suppose que je dois fixer la valeur de en interpolant ou en extrapolant en utilisant (un point fantôme) ou telle sorte que la ligne droite passant par ces points ait la valeur souhaitée à . Pouvez-vous fournir des conseils ou un exemple sur la façon de procéder pour un maillage non uniforme centré sur les cellules?ϕ 0 ϕ 2 x $\phi_1$$\phi_0$$\phi_2$$x_L$

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Mise à jour

Voici ma tentative d'utiliser une approche de cellule fantôme que vous avez suggérée, cela semble-t-il raisonnable?

L'équation pour la cellule est (où F représente le flux de ϕ ),$\Omega_1$$\mathcal{F}$$\phi$

$$\mathcal{F}_{3/2} - \mathcal{F}_{L} = \bar{\rho}$$

Nous devons écrire en termes de condition aux limites en utilisant une cellule fantôme Ω 0 ,$\mathcal{F}_{L}$$\Omega_0$

$$\mathcal{F}_{L} = \frac{\phi_1 - \phi_0}{h_{-}} \quad\quad \text{[1]}$$

Mais nous devons finalement éliminer le terme de l'équation. Pour ce faire, nous écrivons une deuxième équation qui est l'interpolation linéaire du centre de la cellule au centre de la cellule . Idéalement, cette ligne passe par , c'est ainsi que les conditions de Dirichlet entrent dans la discrétisation (car la valeur à ce stade est juste )Ω 0 Ω 1 x L g D ( x L$\phi_0$$\Omega_0$$\Omega_1$$x_L$$g_D(x_L)$

$$g_D(x_L) = \frac{h_1}{2h_{-}}\phi_0 + \frac{h_0}{2h_{-}}\phi_1 \quad\quad \text{[2]}$$

En combinant les équations 1 et 2, nous pouvons éliminer et trouver une expression pour en termes de et ,F L ϕ 1 g D ( x L$\phi_0$$\mathcal{F}_L$$\phi_1$$g_D(x_L)$

$$\mathcal{F}_L = \frac{1}{h_{{-}}} \left(\phi_{1} - \frac{1}{h_{1}} \left(2 g_{D} h_{{-}} - h_{1} \phi_{1}\right)\right)$$

En supposant que nous sommes libres de choisir le volume de la cellule fantôme, nous pouvons définir pour donner,$h_0 \rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = -\frac{2 g_{D}}{h_{1}} + \frac{2 \phi_{1}}{h_{{-}}}$$

Cela peut être simplifié davantage parce que si les cellules et sont du même volume, nous pouvons alors définir donnant finalement,Ω 1 h - → h $\Omega_0$$\Omega_1$$h_{-}\rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = \frac{2}{h_{1}} \left( \phi_1 - g_D \right)$$

Cependant, cette approche a récupéré la définition qui est instable donc je ne sais pas trop comment procéder? Ai-je mal interprété vos conseils (@Jan)? La chose étrange est que cela semble fonctionner, voir ci-dessous,

Voir ci-dessous, cela fonctionne,

Dans l'analyse de stabilité des discrétisations FVM pour les problèmes elliptiques avec Dirichlet BC, une hypothèse centrale est que les cellules internes , où vous énoncez la PDE, n'ont aucune intersection avec la frontière, c'est-à-dire si vu comme un ensemble dans si votre domaine , cf. par exemple le livre de [ Grossmann & Roos , p. 92]

$$\overline \Omega_i \cap \Gamma_D = 0 \quad \quad (*)$$ $\mathbb R^{n-1}$$\Omega \subset \mathbb R^n$

Ainsi, si dans votre configuration, l'approche est instable, ce n'est pas en contradiction avec les résultats de stabilité connus. EDIT : En utilisant une cellule fantôme et une interpolation linéaire, pour un choix particulier de volume et de distance, on obtient comme flux. Ainsi, est en effet un schéma stable.

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr) \quad \quad (**)$$ $(**)$$(**)$

La stabilité et la convergence (de premier ordre dans la norme max discrète) pour le problème du poisson ont été prouvées par Grossmann & Roos pour les grilles, avec des cellules de frontière distinctes avec leurs "centres" sur la frontière réelle comme illustré dans mon dessin pour un cas 1D.

Ici, le quotient différentiel sur l'interface est approximé de manière directe.

Je dirais que les cellules fantômes sont l'approche courante, pour deux raisons.

• Ils imitent la situation stable décrite dans mon dessin mais avec une condition aux limites interpolée
• Ils sont simplement attachés à la frontière physique. Ainsi, on peut utiliser une triangulation du domaine, ce qui est également avantageux, car on a souvent aussi des BC naturels qui sont directement imposés à l'interface [ Grossmann & Roos , p. 101].

Donc, je vous suggère d'utiliser des cellules fantômes pour la frontière de Dirichlet. Dans votre exemple, cela ajoutera à votre système et la condition qu'un interpolant entre , et peut-être d'autres soit à à la frontière.$\phi_0$$\phi_0$$\phi_1$$g_D$

$\phi_1-\frac{\phi_2-\phi_1}{x_2-x_1}(x_1-x_0)=0$$x_0$$x_i$$\phi_i$$\phi_1$$\phi_2$$\phi_1$

Ce que vous trouvez ici, c'est pourquoi les volumes finis ne sont pas fréquemment utilisés pour les équations elliptiques pour lesquelles on pose des conditions de Dirichlet. Ils sont utilisés pour les lois de conservation où les conditions plus naturelles sont exprimées en termes de flux.

$$\frac{d^2 \phi}{dx^2} = f$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2}-\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \int_{x_{1/2}}^{x_{3/2}}f\, dx$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2} = \frac{\phi_2-\phi_1}{h_+}$$

$(d\phi/dx)_{1/2}$$\phi_{1/2}$$x_{1/2}$$x_1$$x_2$$h$

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{1}{h}\Bigl(-\frac{1}{3}\phi_2+3\phi_1-\frac{8}{3}\phi_{1/2}\Bigr)$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr)$$

Bien sûr, une chose qui doit également être vérifiée est la stabilité de votre discrétisation avec l'approximation du second ordre à la frontière. Du haut de ma tête, je ne sais pas si elle sera stable combinée à une approximation du deuxième ordre centrée à l'intérieur. Une analyse de stabilité de la matrice vous le dira certainement. (Je suis pratiquement certain que l'approximation du premier ordre à la frontière sera stable.)

Vous mentionnez la possibilité d'utiliser des points fantômes. Cela conduit au problème que vous devez extrapoler de l'intérieur vers le point fantôme et utiliser le bc dans le processus. Je soupçonne, mais je ne l'ai pas "prouvé", qu'au moins certains traitements des points fantômes équivalent à utiliser le type d'approche que j'ai décrit ci-dessus.

J'espère que cela aide un peu.