Confusion à propos de Quantum Monte Carlo

Ma question concerne l'extraction des observables des méthodes QMC, comme décrit dans cette référence .

Je comprends la dérivation formelle de diverses méthodes QMC comme Path Integral Monte Carlo. Cependant, à la fin de la journée, je ne sais toujours pas comment utiliser efficacement ces techniques.

L'idée de base de la dérivation des méthodes Quantum MC est de discrétiser, via l'approximation de Trotter, un opérateur qui peut être soit la matrice de densité, soit l'opérateur d'évolution temporelle d'un système quantique. On obtient alors un système classique avec une dimension supplémentaire qui peut être traité avec des méthodes MC.

Étant donné que l' on peut interpréter dans l'opérateur quantique à la fois comme une température inverse et un temps imaginaire, le but de ces algorithmes devrait être de calculer une approximation de cet opérateur. En effet, si nous mesurions directement des quantités à partir des différentes configurations échantillonnées le long d'une simulation, dans le cas de la "température inverse" nous aurions des échantillons respectant une densité de probabilité basée sur , où $\beta$ $e^{−\beta\hat{H}}$ $\beta/M$ $M$ est le nombre d'étapes discrètes introduites dans la décomposition de Trotter. Au lieu de cela, dans le cas du "temps imaginaire", nous obtiendrions des échantillons à divers pas de temps discrets, obtenant ainsi des moyennes le long du temps également. Nous ne serions pas aussi obtenir des quantités comme à un moment donné , avec certaine opérateur observable. $\langle\psi_t|\hat{A}|\psi_t\rangle$ $t$ $\hat{A}$

Cependant, à mon avis, les quantités que nous échantillonnons directement à partir de ce type de simulations (tirées de (5.34) du document, page 35):

\bar{O} \equiv ⟨ \hat{O} (X) ⟩ \equiv \frac{1}{N!} \sum_{P} \int O (X) π (X, P) d X

$\bar{O} \equiv \langle \hat{O}(X) \rangle \equiv \frac{1}{N!} \sum_P \int O(X) \pi(X,P) dX$

$M$

\frac{E_{t h}}{N} = ⟨ \frac{d}{2 τ} - \frac{m}{2 (ℏ τ)^{2} M N} \sum_{j = 1}^{M} (R_{j} - R_{j + 1})^{2} + \frac{1}{M N} \sum_{j = 1}^{M} V (R_{j}) ⟩

$\frac{E_{th}}{N}= \left\langle \frac{d}{2 \tau} - \frac{m}{2 (\hbar \tau)^2MN } \sum_{j=1}^{M} (\mathbf{R}_j -\mathbf{R}_{j+1})^2 + \frac{1}{MN} \sum_{j=1}^{M} V(\mathbf{R}_j) \right\rangle$

Ai-je raison de dire qu'une série de simulations QMC est nécessaire pour extraire des informations utiles sur un observable donné?

monte-carlo quantum-mechanics

— Pippo
source

Pourvu que je vous comprenne bien, il me semble que les deux approches sont équivalentes si le système est ergodique.

— Daniel Shapero

@DanielShapero Que voulez-vous dire exactement par être équivalent?

— Pippo

Je viens de googler sur le chemin Monte Carlo intégral et vous devriez en fait simplement ignorer ce que j'ai dit, c'est sans importance.

— Daniel Shapero

Je ne pense pas qu'il y ait le moindre doute concernant Quantum Monte Carlo; c'est très bien compris et rigoureusement soutenu théoriquement ...

— Nick

β / M

$\beta/M$

β

$\beta$

M

$M$

M

$M$

Réponses:

Il y a beaucoup de confusion dans votre question. Le plus important pour moi est que vous manquez cette QMC "naïve" qui est le calcul Monte-Carlo des intégrales dans une méthode variationnelle et la diffusion Monte-Carlo sont des méthodes différentes avec une argumentation et une dérivation différentes.

Cependant, le point principal concerne le temps imaginaire. En diffusion, le temps imaginaire Monte-Carlo est une astuce pour convertir l'équation de Schroedinger indépendante du temps en une équation de diffusion dépendante du temps, laquelle solution dans la limite infinie de "temps" tend à une solution de l'équation de Schroedinger originale. C'est ça. Le temps dans DQMC n'est pas réel.

Une explication relativement bonne mais simple est donnée dans Reviews of Modern Physics, 73, 33 (2001) .

PS Au fait, que voulez-vous dire par "approximation Trotter" dans votre question?

— Misha
source

Je ne pense pas qu'il y ait cette confusion, c'est ma question puisque je n'ai jamais fait référence à Diffusion MC, dont l'idée est assez différente, même si elle part aussi d'une discrétisation de l'opérateur densité / évolution temporelle (mais elle se termine par une interprétation différente de il).

— Pippo

e^{- β \hat{H}}

$e^{−\beta\hat{H}}$

e^{- τ \hat{H}} \cdot e^{- τ \hat{H}} \cdot . . . \cdot e^{- τ \hat{H}}

$e^{−\tau\hat{H}}\cdot e^{−\tau\hat{H}}\cdot ... \cdot e^{−\tau\hat{H}}$

τ

$\tau$

β / M

$\beta/M$

Btw, à la fin, j'ai résolu mon problème en demandant directement au professeur à la fin de l'examen (qui s'est très bien passé: D), et oui, nous ne pouvons pas directement relier les quantités simulées aux quantités quantiques souhaitées.

— Pippo

@Pippo Donc, ce que vous vouliez dire, c'était Path-Integral Monte Carlo. Je ne vous vois toujours pas le mentionner dans votre question.

— Misha

Deuxième ligne: "Je comprends la dérivation formelle de diverses méthodes QMC comme Path Integral Monte Carlo." ;)

— Pippo

Vous avez raison de dire que les gens utilisent constamment les techniques de Monte Carlo pour calculer des moyennes statistiques (par opposition aux informations résolues en temps). Ce n'est pas nécessairement vrai que c'est ce qui doit être calculé: cela dépend du type d'informations que vous souhaitez. Vous avez peut-être un forçage externe dépendant du temps, par exemple, et vous voulez voir comment le système évolue en réponse.

— Dan
source

Merci d'avoir répondu. Je vais essayer de donner plus de détails sur ce que je demande. Pour me rendre plus compréhensible, je vais me référer à ce travail que j'ai trouvé sur Internet: itp.phys.ethz.ch/education/fs12/cqp/chapter05.pdf

— Pippo

L'idée de base de la dérivation des méthodes Quantum MC est de discrétiser, via l'approximation de Trotter, un opérateur qui peut être soit la matrice de densité, soit l'opérateur d'évolution temporelle d'un système quantique; de cette façon, nous obtenons un système classique avec une dimension supplémentaire qui peut être traitée avec des méthodes MC.

— Pippo

M

$M$

Voici ma question: ai-je raison avec mon interprétation des méthodes Quantum Monte Carlo?

— Pippo

Je vais également modifier ma question d'origine.

— Pippo