Quel est le but d'utiliser l'intégration par parties pour dériver une forme faible de discrétisation FEM?

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En passant de la forme forte d'un PDE à la forme FEM, il semble que l'on devrait toujours le faire en indiquant d'abord la forme variationnelle. Pour ce faire, vous multipliez la forme forte par un élément dans un espace (Sobolev) et vous intégrez sur votre région. Je peux l'accepter. Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi il faut aussi utiliser la formule de Green (une ou plusieurs fois).

J'ai principalement travaillé avec l'équation de Poisson, donc si nous prenons cela (avec des conditions aux limites de Dirichlet homogènes) comme exemple, c'est-à-dire

\begin{aligned} - \nabla^{2} u & = f, u \in Ω \\ u & = 0, u \in \partial Ω \end{aligned}

$\begin{align} -\nabla^2u &= f,\quad u\in\Omega \\ u &= 0, \quad u\in\partial\Omega \end{align}$

alors on prétend que la bonne façon de former la forme variationnelle est

\begin{aligned} \int_{Ω} f v d \vec{x} & = - \int_{Ω} \nabla^{2} u v d \vec{x} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} - \int_{\partial Ω} \vec{n} \cdot \nabla u v d \vec{s} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} . \end{aligned}

$\begin{align} \int_\Omega fv\,\mathrm{d}\vec{x} &= -\int_\Omega\nabla^2 uv\,\mathrm{d}\vec{x} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x} - \int_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\nabla u v\,\mathrm{d}\vec{s} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x}. \end{align}$

Mais qu'est-ce qui m'empêche d'utiliser l'expression sur la première ligne, n'est-ce pas aussi une forme variationnelle qui peut être utilisée pour obtenir une forme FEM? N'est-ce pas correspondant aux formes bilinéaires et linéaires $b(u,v)=(\nabla^2 u, v)$ et $l(v)=(f, v)$ ? Le problème ici est-il que si j'utilise des fonctions de base linéaires (fonctions de forme), je serai en difficulté parce que ma matrice de rigidité sera la matrice nulle (non inversible)? Mais que faire si j'utilise des fonctions de forme non linéaires? Dois-je toujours utiliser la formule de Green? Si je n'ai pas à le faire: est-ce conseillé? Si ce n'est pas le cas, ai-je alors une formulation variationnelle mais pas faible?

Maintenant, disons que j'ai un PDE avec des dérivées d'ordre supérieur, cela signifie-t-il qu'il existe de nombreuses formes variationnelles possibles, selon la façon dont j'utilise la formule de Green? Et elles conduisent toutes à des approximations (différentes) FEM?

pde finite-element elliptic-pde

— Christian
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Connexe: scicomp.stackexchange.com/questions/667/…

— Paul

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Réponse courte:

Non, vous n'avez pas besoin de faire l'intégration pour certains FEM. Mais dans votre cas, vous devez le faire.

Longue réponse:

$u_h$ $\Delta$ $-\Delta u_h\in H^{-1}$ $v$ $L^2$ $\varphi_{-\Delta u_h} \in H^1_0$ $H^1$
$⟨ - Δ u_{h}, v ⟩_{H^{- 1}, H_{0}^{1}} = \underset{inner product in H^{1}}{\underset{⏟}{\int_{Ω} \nabla φ_{- Δ u_{h}} \cdot \nabla v}} .$ $\langle-\Delta u_h ,v \rangle_{H^{-1},H^1_0} = \underbrace{\int_{\Omega}\nabla \varphi_{-\Delta u_h} \cdot \nabla v}_{\text{inner product in }H^1}.$ $u_h$ $T$ $\int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v = - \sum_{T} (\int_{T} Δ u_{h} v + \int_{\partial T} \frac{\partial u_{h}}{\partial n} v d S),$ $\int_{\Omega}\nabla u_h \cdot \nabla v = -\sum_{T}\left(\int_{T} \Delta u_h\,v + \int_{\partial T}\frac{\partial u_h}{\partial n}v\,dS\right),$ $-\Delta u_h$ $H^{1/2}$ $H^{-1/2}$ $\Delta$ $(\Delta u, v)$
$W^{k,p}$ $W^{k,p}$ $H^1$ $H^2$ $H^2$ $\Delta u_h$
${\begin{cases} σ = - \nabla u, \\ \nabla \cdot σ = f . \end{cases}$ $\begin{cases} \boldsymbol{\sigma} = -\nabla u, \\ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = f. \end{cases}$ $J (v) = ‖ σ + \nabla u ‖_{L^{2} Ω}^{2} + ‖ \nabla \cdot σ - f ‖_{L^{2} Ω}^{2},$ $\mathcal{J}(v) = \|\boldsymbol{\sigma} + \nabla u\|_{L^2{\Omega}}^2 + \|\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} - f\|_{L^2{\Omega}}^2,$

— Shuhao Cao
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Rien ne vous empêche de le faire techniquement, mais lorsque vous intégrez par parties, vous obtenez plus de flexibilité avec l'espace de solution dans la mesure où elles n'ont pas besoin d'avoir la régularité (requise pour la formulation non IBP). Les éléments linéaires que vous proposez ont généralement imposé une continuité entre les éléments et ne peuvent donc pas être dans . La formulation IBP est en outre symétrique, ce qui présente également certains de ses avantages. $H^2$ $H^2$

— Reid.Atcheson
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Voulez-vous dire que les fonctions de forme linéaire donnent une solution à la formulation FEM qui n'est pas dans parce que différencier cette solution FEM deux fois (faiblement) donne une somme de distributions delta, qui n'est pas dans ? Cela signifie-t-il que pour les pde: s d'ordre supérieur à 2, je dois utiliser des fonctions de forme d'ordre supérieur à 1 (du moins si les espaces de test et d'essai doivent être identiques?)?

H^{2}

$H^2$

L^{2}

$L^2$

— Christian

1

Ce que vous dites est essentiellement vrai. En ce qui concerne les PDE supérieurs au second ordre, vous n'avez pas nécessairement à utiliser des espaces de plus grande régularité, car écrire la formulation mixte (voir la réponse de Shuhao) peut aider. Vous pouvez également utiliser d'autres techniques comme la pénalisation des sauts pour éviter cette difficulté. Pour une réponse FEM classique, oui, vous auriez besoin d'une plus grande régularité.

— Reid.Atcheson

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Permettez-moi de souligner l'importance de la symétrie. Si un opérateur différentiel est auto-adjoint, je m'attends à finir avec une matrice symétrique. Sans intégration par parties, ce ne sera pas le cas.

— Stefano M

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Les avantages informatiques ont été ma principale pensée en ajoutant cela, mais y a-t-il également de forts avantages théoriques de la symétrie (à part des preuves de faits plus faciles qui tiennent probablement encore dans le cas elliptique, même si la discrétisation est non symétrique)?

— Reid.Atcheson

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D'excellentes réponses déjà sur cette page, mais il reste un (petit) point manquant.

Le PO a demandé:

Maintenant, disons que j'ai un PDE avec des dérivées d'ordre supérieur, cela signifie-t-il qu'il existe de nombreuses formes variationnelles possibles, selon la façon dont j'utilise la formule de Green? Et elles conduisent toutes à des approximations (différentes) FEM?

L'intégration par pièces (de la bonne manière) est importante lorsque vous avez des conditions aux limites de type Neumann. En fait c'est par l'ibp que vous tenez compte du Neumann bc dans votre formulation variationnelle. La forme du Neumann bc dépend de la façon dont vous intégrez par parties, cf. cette réponse sur l'intégration par parties en élasticité linéaire. Ainsi, même pour les PDE elliptiques du second ordre, l'intégration par parties doit être effectuée d'une manière donnée, afin de récupérer une formulation variationnelle valable pour Neumann ou les conditions aux limites mixtes. (Et cela bien sûr indépendamment du fait que vous discrétisez par FEM).

En physique mathématique, où les Neumann bc ont une signification bien définie (flux de chaleur, contraintes ...), l'intégration par parties est importante afin de maintenir l'interprétation correcte des résultats. Même pour des conditions de Dirichlet homogènes et FEM, cela est vrai, car si nous utilisons une méthode de multiplicateur de Lagrange pour imposer les bc, les multiplicateurs deviennent des quantités physiques, comme des flux ou des forces concentrés.

— Stefano M
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