Quelle est la différence entre FEM implicite et FEM explicite?

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Quelle est la différence entre FEM explicite et FEM implicite exactement? Selon l'article ici , il semble que la seule différence est de savoir si l'intégration temporelle implicite ou explicite est utilisée.

Si je me souviens d'un livre que j'ai lu, FEM implicite est l'endroit où la masse n'est pas regroupée dans les nœuds.

Quelles sont les définitions exactes des MEF explicites et implicites?

finite-element implicit-methods explicit-methods

— Fei Zhu
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La méthode FEM pour les problèmes transitoires utilise généralement la méthode des lignes, c'est-à-dire que la discrétisation spatiale est découplée de la discrétisation temporelle: où est le vecteur des quantités nodales, supposées comme des fonctions inconnues du temps. Dans cette hypothèse, les PDE spatio-temporels en sont réduits (discrétisés) en ODE en seul en utilisant la machinerie FEM habituelle pour les problèmes statiques.

u^{h} (x, t) = Φ (x)^{T} U (t)

$\begin{equation} u^h(x,t) = \mathbf{\Phi}(x)^T \, \mathbf{U}(t) \end{equation}$

U (t)

$\mathbf{U}(t)$

(x, t)

$(x,t)$

t

$t$

Comme déjà souligné par d'autres réponses, nous parlons de FEM explicite ou implicite en référence au schéma d'intégration temporelle de ces ODE.

M \ddot{U} (t) + F_{i} (U (t)) = F_{e} (t)

$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) + \mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$

F_{i}

$\mathbf{F}_\text{i}$

F_{e}

$\mathbf{F}_\text{e}$

F_{i} (t) = K U (t)

$\mathbf{F}_\text{i}(t) = \mathbf{K}\, \mathbf{U}(t)$

$\ddot{\mathbf{U}}(t)$

M \ddot{U} (t) = - F_{i} (U (t)) + F_{e} (t)

$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) = -\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) + \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$

F_{i} (U (t)) = b

$\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{b}$

$\ddot{\mathbf{U}}(t)$

— Stefano M
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Oui c'est l'intégration temporelle mais cela signifie aussi que:

Vous devez résoudre un système linéaire du type Ax = b dans le schéma implicite où, comme dans le schéma explicite, vous n'avez pas, car la matrice de masse localisée n'a que des entrées diagonales, donc inv (M) est trivial.
Votre pas de temps dans le schéma explicite est limité par les critères de stabilité de la LCF. Les schémas implicites sont inconditionnellement stables (bien qu'en pratique, vous ayez encore besoin d'un pas de temps raisonnable pour être précis)

En règle générale, les problèmes où les effets d'inertie sont importants (par exemple, la propagation des ondes) sont résolus par des schémas explicites alors que les problèmes quasi statiques utilisent généralement un schéma implicite. Il existe cependant des exceptions.

— stali
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Dans les schémas implicites, non seulement des systèmes d'équations linéaires apparaissent, mais (par exemple dans la modélisation des fluides) des systèmes d'équations non linéaires se trouvent être obtenus.

— Misery

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Les termes «explicite» et «implicite» apparaissent dans la discrétisation temporelle, et ces termes sont déjà utilisés dans la littérature sur les équations différentielles ordinaires (c'est-à-dire qu'ils ne sont pas spécifiques à la méthode des éléments finis). Il vaudrait la peine de jeter un œil à un livre traitant de la solution numérique des ODE, par exemple Hairer & Wanner.

— Wolfgang Bangerth
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