Utiliser l'itération à virgule fixe pour découpler un système de pde

Supposons que j'ai eu un problème de valeur limite:

\frac{d^{2} u}{d x^{2}} + \frac{d v}{d x} = f in Ω

$\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega$

\frac{d u}{d x} + \frac{d^{2} v}{d x^{2}} = g in Ω

$\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega$

u = h in \partial Ω

$u=h \text{ in } \partial\Omega$

Mon objectif est de décomposer la solution de ce problème couplé en une séquence de PDE non couplés. Pour découpler le système, j'applique une itération à point fixe sur une séquence d'approximations telle que $(u^k,v^k)$

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f

$\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f$

\frac{d u^{k - 1}}{d x} + \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} = g

$\frac{du^{k-1}}{dx} +\frac{d^2v^k}{dx^2} =g$

Théoriquement, cela me permettrait de résoudre les deux équations comme un PDE purement elliptique. Cependant, je n'ai jamais vu d'itérations à virgule fixe appliquées aux PDE de cette manière. J'ai vu des itérations à virgule fixe appliquées aux équations discrétisées numériquement (méthode des différences finies, méthode des éléments finis, etc.), mais jamais directement aux équations continues.

Suis-je en train de violer un principe mathématique flagrant? Est-ce mathématiquement valable? Puis-je résoudre l'EDP couplé en tant que séquence d'EDP non couplés en utilisant l'itération à virgule fixe appliquée au problème de variable CONTINUE, plutôt que le problème de variable DISCRETE?

À ce stade, je ne me préoccupe pas vraiment de savoir s'il est pratique d'utiliser cette méthode, mais plutôt si elle est théoriquement plausible. Tous commentaires serait grandement apprécié!

pde iterative-method

— Paul
source

Dans la littérature sur l'EDP hyperbolique, les méthodes de fractionnement des étapes fractionnaires et des opérateurs font en quelque sorte ce que vous décrivez ci-dessus.

— Geoff Oxberry

(u^{k}, v^{k})

$(u^k, v^k)$

(u^{k}, p^{k})

$(u^k, p^k)$

@BillBarth: Oui! Je viens de le corriger.

— Paul

@GeoffOxberry: Je trouve que le fractionnement des opérateurs est de caractère très différent.

— anonyme

@Paul: Je peux penser à au moins un autre problème où les "PDE couplés" sont résolus par une itération à point fixe (et pas seulement formulée comme des problèmes à point fixe): la décomposition de domaine, voir par exemple la méthode Neumann – Dirichlet. (la différence ici étant que vous avez deux PDE mais qu'ils vivent sur des domaines différents et que le couplage se fait uniquement via une interface).

— anonyme

$C^{\infty}(\Omega)\times C^{\infty}(\Omega)$

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} + \frac{d u^{k - 1}}{d x} = g

$\frac{\text{d}^2u^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} v^{k-1}}{\text{d} x} =f\\ \frac{\text{d}^2v^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} u^{k-1}}{\text{d} x} =g\\$ (plus les conditions aux limites).

Il est clair que si cette séquence converge, ce sera une solution de votre ensemble original de PDE.

$x^k\to x^{k+1}$ $u^0$ $v^0$

‖ (\begin{matrix} u^{k} \\ v^{k} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k} \\ {\hat{v}}^{k} \end{matrix}) ‖ \leq q ‖ (\begin{matrix} u^{k - 1} \\ v^{k - 1} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k - 1} \\ {\hat{v}}^{k - 1} \end{matrix}) ‖

$\left\| \begin{pmatrix} u^k\\ v^k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^k\\ \hat{v}^k \end{pmatrix} \right\| \le q \left\| \begin{pmatrix} u^{k-1}\\ v^{k-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^{k-1}\\ \hat{v}^{k-1} \end{pmatrix} \right\|$

| q | < 1

$|q|<1$

(u^{k - 1}, v^{k - 1})

$(u^{k-1}, v^{k-1})$

({\hat{u}}^{k - 1}, {\hat{v}}^{k - 1})

$(\hat{u}^{k-1}, \hat{v}^{k-1})$

Cette logique fonctionne à la fois dans l'espace continu et dans l'espace discret.

— Nico Schlömer
source

Ne devrait pas ?

| q | < 1

$|q|<1$

— Paul