Comment dériver la formulation faible d'une équation différentielle partielle pour la méthode des éléments finis?

J'ai pris une introduction de base à la méthode des éléments finis, qui ne mettait pas l'accent sur une compréhension sophistiquée d'une «formulation faible». Je comprends qu'avec la méthode de Galerkin, nous multiplions les deux côtés de la PDE (elliptique) par une fonction de test, puis nous intégrons (par parties ou par théorème de divergence). Parfois, j'ai dû intégrer par parties deux fois avant d'arriver à la formulation faible appropriée (basée sur la réponse au dos du livre). Mais quand j'essaie d'appliquer le même concept à d'autres PDE (disons, ils sont toujours indépendants du temps), je n'arrive pas à reconnaître quand la formulation est appropriée pour la discrétisation. Y a-t-il un «drapeau rouge» qui peut me dire que CETTE FORME peut être discrétisée en un système linéaire d'équations?

De plus, comment choisir un ensemble approprié de fonctions de base?

Posez-vous les questions suivantes:

Premièrement, comment l'intégration par parties affecte-t-elle la solvabilité du problème et l'espace des solutions?

Deuxièmement, pour quel espace de fonctions pouvez-vous créer une série de sous-espaces (les fonctions ansatz) que vous pouvez implémenter?

Considérons le problème de Poisson pour , disons, sur , avec des conditions aux limites de Dirichlet homogènes. Par intégration, les côtés gauche et droit de l'équation peuvent être considérés comme des fonctionnelles bornées sur , disons pour nous avonsf ∈ L 2 [ 0 , 1 ] L 2 ϕ ∈ L $u'' = f$$f \in L^2$$[0,1]$$L^2$$\phi \in L^2$

ϕ ↦ ∫ f ϕ d $\phi \mapsto \int u'' \phi dx$ et$\phi \mapsto \int f \phi dx$

Étant donné que n'importe quelle fonction dans peut être approchée par par des fonctions fluides avec un support compact, les deux fonctions intégrales sont complètement connues si vous ne connaissez que les valeurs de toutes les fonctions de test. Mais avec les fonctions de test, vous pouvez effectuer l'intégration par parties et transformer le côté gauche en fonctionL $L^2$$L^2$

$\phi \mapsto -\int u' \phi' dx$

Lisez ceci comme: "Je prends une fonction de test , calcule son différentiel et l'intègre avec -u 'sur [0,1], et je vous renvoie le résultat." Mais cette fonction n'est pas définie et limitée sur , car vous ne pouvez pas prendre le différentiel d'une fonction arbitraire . Ils peuvent sembler extrêmement étranges en général.L 2 L $\phi$$L^2$$L^2$

Nous observons toujours que cette fonctionnelle peut être étendue à l'espace de SobolevH 1 0 ϕ ∈ H 1 0 ∫ - u ′ ϕ ′ d x H 1 0 ϕ ′ ϕ ↦ ∫ f ϕ d x L 2 H 1 $H^1$ , et c'est même une fonctionnelle bornée sur . Cela signifie que, étant donné , vous pouvez approximativement estimer la valeur de par un multiple de la norme -norm de . Et, en outre, le est, bien sûr, non seulement défini et borné sur , mais également défini et borné sur .$H_0^1$$\phi \in H_0^1$$\int -u' \phi' dx$$H_0^1$$\phi'$$\phi \mapsto \int f \phi dx$$L^2$$H_0^1$

Vous pouvez maintenant, par exemple, appliquer le lemme de Lax-Milgram, tel qu'il est présenté dans n'importe quel livre PDE. Un livre d'éléments finis qui le décrit également, uniquement avec une analyse fonctionnelle, est par exemple le classique de Ciarlet, ou le livre plutôt nouveau de Braess.

Le lemme de Lax-Milgram offre aux personnes PDE un bel outil pour une analyse pure, mais elles utilisent également des outils beaucoup plus étranges pour leur usage. Pourtant, ces outils sont également pertinents pour les analyses numériques, car vous pouvez en fait construire une discrétisation pour ces espaces.

Par exemple, pour avoir un sous-espace discret de , prenez simplement les fonctions chapeau. Ils n'ont pas de sauts et sont différenciables par morceaux. Leur différentiel est un champ vectoriel constant par morceaux. Cette construction fonctionne en , ce qui est bien, mais pouvez-vous trouver un espace ansatz dont les fonctions ont non seulement un gradient (c'est-à-dire agréable, c'est-à-dire carré intégrable), mais aussi dont les gradients ont à leur tour une divergence? (encore une fois, carré intégrable). C'est assez difficile en général. d = 1 , 2 , 3 , . . $H_0^1$$d=1,2,3,...$

Ainsi, la raison générale pour laquelle vous construisez des formulations faibles est que vous voulez appliquer le lemme de Lax-Milgram, et avoir une formulation telle que les fonctions puissent en fait être implémentées. (Pour mémoire, ni Lax-Milgram n'est le dernier mot dans ce contexte, ni ansatz espaces le dernier mot dans la discrétisation, voir, par exemple, les méthodes de Galerkin discontinues.)$H_0^1$

Dans le cas de conditions aux limites mixtes, l'espace de test naturel peut différer de votre espace de recherche (dans le cadre analytique), mais je ne sais pas comment le décrire sans faire référence à la théorie de la distribution, alors je m'arrête ici. J'espère que ceci est utile.