Existe-t-il des approches de séparation des opérateurs pour les PDE multiphysiques qui atteignent une convergence d'ordre élevé?

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Étant donné une évolution PDE

u_{t} = UNE u + B u

$u_t = Au + Bu$

où sont des opérateurs différentiels (éventuellement non linéaires) qui ne commutent pas, une approche numérique courante consiste à alterner entre la résolution $A,B$

u_{t} = UNE u

$u_t = Au$

et

u_{t} = B u .

$u_t = Bu.$

La mise en œuvre la plus simple est connue sous le nom de division Godunov et est précise au premier ordre. Une autre approche bien connue, connue sous le nom de fractionnement de Strang, est précise au deuxième ordre. Existe-t-il des méthodes de séparation des opérateurs d'ordre supérieur (ou d'autres approches de discrétisation multiphysique)?

pde multiphysics operator-splitting

— David Ketcheson
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1

Les termes sont-ils rigides ou non rigides? Avez-vous une fonction qui applique A et B, ou avez-vous seulement un algorithme qui fait avancer l'état de

à

? Dans le cas où l'un est rigide et l'autre non rigide, il existe de nombreuses méthodes intéressantes.

t^{n}

$t^n$

t^{n + 1}

$t^{n+1}$

— Jed Brown

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J'ai cru comprendre que la formule BCH était un moyen systématique d'approximer l'exponentielle matricielle de deux matrices non commutatives.

— Matt Knepley
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Mais cela ne conduit-il pas à des termes complexes même lorsque le PDE est réel? Les gens l'utilisent-ils pour une discrétisation supérieure au 2e ordre?

— David Ketcheson

1

Pas de ma mémoire (ou de la page Web). Cela conduit à beaucoup de commutateurs. Dans les corps quantiques à plusieurs corps, il existe de belles façons de simplifier ces expressions.

— Matt Knepley

7

Si vous considérez les opérateurs généraux A et B et si vous voulez seulement faire des pas de temps positifs (ce qui est habituellement requis pour résoudre les problèmes paraboliques), il y a une barrière d'ordre de 2, c'est-à-dire, en utilisant tout type de fractionnement, vous ne pouvez pas obtenir un taux de convergence supérieur à deux. Une preuve élémentaire est donnée dans un article récent de S. Blanes et F. Casas, http://www.gicas.uji.es/Fernando/MyPapers/2005APNUM.pdf .

Cependant, il existe plusieurs solutions si vous en savez un peu plus sur votre problème:

Supposons que vous pouvez résoudre vos équations dans le temps (ce qui est courant pour, par exemple, les équations de Schrödinger), puis il existe de nombreuses séparations disponibles, voir le livre "Geometric Numerical Integration" de Hairer, Lubich et Wanner.
Si vos opérateurs génèrent des semi-groupes analytiques, c'est-à-dire que vous pouvez insérer des valeurs complexes pour t (typique pour les équations paraboliques), il a été récemment observé que vous pouvez obtenir des séparations d'ordre supérieur en allant dans le plan complexe. Les premiers articles dans ce sens sont de E. Hansen et A. Ostermann, http://www.maths.lth.se/na/staff/eskil/dataEskil/articles/Complex.pdf , et F. Castella, P. Chartier , S. Descombes et G. Vilmart. Le choix de séparations complexes qui sont "optimales" dans un certain sens est un sujet de recherche actuel, vous pouvez trouver plusieurs articles sur le sujet sur arxiv.

Pour résumer: si vous posez des hypothèses sur votre problème, vous pouvez obtenir quelque chose, mais sinon, l'ordre 2 est le maximum.

PS: J'ai dû supprimer le lien vers Castella et al-paper en raison de la prévention du spam, mais vous pouvez facilement le trouver sur Google.

— Philipp Dörsek
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5

Le groupe CCSE de LBNL a récemment utilisé des méthodes de correction spectrale différée (SDC) dans un flux à faible nombre de mach avec une chimie complexe. Ils comparent les résultats SDC avec le fractionnement de Strang, et les résultats sont très prometteurs.

Voici un projet de document avec les détails: Une stratégie de couplage à correction différée pour un faible débit de Mach avec une chimie complexe

Notez que le schéma SDC est un schéma itératif qui converge vers une solution de collocation précise d'ordre élevé, mais il est construit à partir de méthodes de premier ordre.

— Matthew Emmett
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2

L'erreur de division peut, au moins en principe, être réduite par des méthodes de correction spectrale différée. Cependant, cela semble être un domaine de recherche active et pas vraiment quelque chose de prêt pour une utilisation générale.

— Brian
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2

Une nouvelle ressource pour les schémas de fractionnement d'ordre élevé qui en énumère un bon nombre peut être trouvée ici:

http://www.asc.tuwien.ac.at/~winfried/splitting/

— David Ketcheson
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