Quels sont les schémas numériques possibles pour une équation de diffusion avec un terme de réaction non linéaire?

Pour un domaine convexe simple en 2D, nous avons certains satisfaisant l'équation suivante: avec certaines conditions aux limites de Dirichlet et / ou Neumann. À ma connaissance, l'application de la méthode de Newton dans un espace d'éléments finis serait une manière relativement simple de résoudre numériquement cette équation. $\Omega$ $u(x)$

- d i v (A \nabla u) + c u^{n} = f

$-\mathrm{div}(A\nabla u)+cu^n = f$

Mes questions sont les suivantes: (1) Existe-t-il une théorie de Sobolev pour le bien-posé de la formulation variationnelle correspondante de cette équation en supposant une condition aux limites de Dirichlet nulle? Si oui, quel espace Banach faut-il considérer? (2) Quelles sont les approches numériques possibles pour ce type d'équation?

pde finite-element

— Shuhao Cao
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Par "possibles approches numériques", vous posez des questions sur la discrétisation ou les solveurs algébriques?

— Jed Brown

Je vois deux approches:

1) F arbitraire (u). Mettez simplement f ~ f (u0) sur le côté droit de l'équation, procédez avec n'importe quel solveur non linéaire, le schéma à virgule fixe est un bon choix, car vous n'avez pas Jacobian de toute façon. Plus facile à implémenter et à utiliser, plus général, mais peut-être des performances inférieures, car le jacobien ne peut pas être exploité (est généralement inconnu).

2) f (u) décomposé en série (polynôme, Fourier). Plus difficile à mettre en œuvre et à utiliser, peut être difficile / impossible pour certains f. Mais en retour, vous pouvez calculer et exploiter le jacobien dans une méthode de type Newton, qui se traduira généralement par des performances supérieures.

— Dominik Lark
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f

$f$

u

$u$

u^{n}

$u^n$

Vous devez ajouter u ^ n à f. Vous avez alors une forme polynomiale simple du terme de réaction qui est mieux traitée avec l'approche 2).

— Dominik Lark