Connexions entre les formes différentielles et la méthode du volume fini du second ordre

En lisant aujourd'hui sur la théorie des formes différentielles, j'ai été impressionné à quel point cela me rappelait la méthode du volume fini (FVM) de second ordre.

J'ai du mal à comprendre est de penser que cette façon de faire est tout simplement trivial ou y a-t-il une connexion plus profonde.

Eh bien, les formes différentielles servent à généraliser certains concepts profondément enracinés dans le FVM de second ordre, comme le flux de fluide à travers une surface, et nous parlons tous de flux dans le FVM. Le théorème intégral (de Stokes) est alors l'un des objets centraux de la théorie des formes différentielles. Cela prouve qu'il implique une intégration de formes différentielles sur une variété où apparaissent des simplexes (triangles, tétraèdres, etc.). Le collecteur est en fait tessellé de la même manière que nous représentons une forme lisse sur laquelle passe le fluide en utilisant des cellules à bords droits.

Ce ne sont là que quelques-unes des choses similaires. Le fait est que la lecture des formes différentielles m'a empêché de penser à la FVM.

La méthode des volumes finis de second ordre représente-t-elle réellement la manifestation informatique de la théorie des formes différentielles?

Une façon de penser à une forme différentielle est "quelque chose d'intégrable sur une variété dimensionnelle". L'exemple le plus familier serait la forme du volume dans , mais aussi le , qui a une forme . $k$$k$$dx$$\int_0^1 x^2 dx$$x^2$$0$

Le théorème de Stokes généralise bon nombre des identités que vous connaissez dans le calcul vectoriel, comme le théorème de divergence. Ces identités sont appliquées aux lois de conservation intégrales pour calculer les flux à travers les frontières dans les méthodes de volumes finis, donc on devrait, comme vous le soupçonnez, être capable de tout écrire en termes de formes différentielles.

Des techniques géométriques différentielles sont utilisées dans les formulations / compréhension des méthodes par éléments finis (-volume).

Voir ici et ici