De nombreuses méthodes numériques pour les EDP hyperboliques sont basées sur l'utilisation de solveurs de Riemann. De tels solveurs sont essentiels pour capturer avec précision les ondes de choc. Il existe une gamme de ces solveurs disponibles pour les systèmes les mieux étudiés (par exemple, les solveurs exacts, les solveurs Roe, les solveurs HLL). Comment dois-je décider lequel utiliser?
Réponses:
Pour la solution numérique des EDP hyperboliques, l'utilisation de solveurs de Riemann sont des composants essentiels des méthodes conservatrices de capture de chocs pour une simulation précise des problèmes d'onde qui peuvent avoir des chocs (sauts discontinus dans les variables conservées). Pour être en mesure d'obtenir des solutions précises à ces problèmes, nous devons utiliser des techniques de remontée appropriées - le solveur Riemann en est responsable. Le solveur Riemann cherche une solution précise au problème d'interface entre les cellules (fx. Dans les volumes finis) ou les éléments (fx. Dans les méthodes des éléments finis de Galerkin discontinues). La solution de ce problème d'interface est basée sur la solution de chaque côté de l'interface et cherche à l'utiliser comme base pour une reconstruction précise du flux (numérique) (en termes de variables conservées) à travers l'interface.
Il existe deux approches standard pour la résolution de tels problèmes de Riemann (locaux à l'interface), à savoir les solveurs de Riemann exacts et approximatifs. Pour de nombreux PDE, il n'existe pas de solution exacte sous forme fermée, auquel cas nous devons recourir à des solveurs de Riemann approximatifs. En pratique, il peut également être (trop) coûteux de résoudre exactement les problèmes de Riemann, auquel cas il peut être plus pratique de recourir à des solveurs de Riemann approximatifs. Pour la même raison, les flux de type Lax-Freidrichs sont largement utilisés comme moyen simple.
Essentiellement, le choix entre les solveurs Riemann a à voir avec la précision avec laquelle on cherche à représenter les vitesses d'onde de la solution et l'efficacité résultante.
Cela dépend du problème. Le problème de Riemann est basé sur les données de chaque côté des interfaces cellulaires. Pour reconstruire le flux à l'interface sur la base de ces données, nous devons connaître les informations sur la structure pleine onde de la PDE hyperbolique en question. Cela rend le problème de Riemann dépendant du problème et donc aussi le choix du solveur de Riemann. En bref, les solveurs exacts cherchent à prendre en compte la structure pleine onde, le solveur Roe est basé sur une approximation locale (par linéarisation et moyennage spécial) de la structure d'onde locale, le solveur HLL est basé sur l'estimation de deux vitesses d'onde dominantes dans le local la structure des vagues et ensuite imposer la conservation en satisfaisant la condition de Rankine-Hugoniot pour tenir à travers les chocs ou les discontinuités de contact.
Ainsi, le choix entre des solveurs spécifiques, des solveurs exacts ou des solveurs Roe / HLL / etc. approximatifs dépend de la recherche d'un équilibre entre la précision (en imitant la physique sous-jacente des équations du modèle) et les besoins en efficacité. En fin de compte - comme je le vois - dans l'application pratique, ce sont souvent les exigences d'efficacité qui dictent l'utilisation de solveurs de Riemann approximatifs (fx. De type Lax-Friedrichs).
Une bonne exposition au sujet est donnée par EF Toro dans son manuel "Les solveurs de Riemann et les méthodes numériques pour la dynamique des fluides", Springer.
J'ai été amené à croire que pour les numériques d'ordre inférieur, il fallait des solveurs Riemann de haute qualité et pour les chiffres d'ordre élevé, on pouvait utiliser des solveurs Riemann de faible qualité. Intuitivement, il y a un certain nombre de FLOP nécessaires pour capturer la physique en dessous de laquelle on est arrosé.
Et, oui, il n'y a également aucun contenu dans cette réponse d'un point de vue métrique d'évaluation ...