Préconditionneur efficace pour le lagrangien augmenté

Je veux résoudre un problème non linéaire avec des contraintes d'égalité non linéaires et j'utilise un lagrangien augmenté avec un terme de régularisation de pénalité qui, comme on le sait, gâche le numéro de condition de mes systèmes linéarisés (à chaque itération de Newton, je veux dire) . Plus le terme de pénalité est grand, plus le nombre de conditions est mauvais. Quelqu'un connaîtrait-il un moyen efficace de se débarrasser de ce mauvais conditionnement dans ce cas spécifique?

Pour être plus précis, j'utilise le lagrangien augmenté classique car j'ai beaucoup de contraintes qui peuvent généralement être redondantes. Il est donc très pratique d'incorporer aveuglément les contraintes directement dans les variables primaires. J'ai essayé d'autres approches plus sophistiquées basées sur des éliminations variables ou des préconditionneurs efficaces directement sur le système KKT mais, en raison de la redondance des contraintes, j'ai quelques problèmes.

Le problème concernant est formulé comme suit mon lagrangien sous la forme L ( u , λ ) : = W ( u ) + ρ λ $\mathbf u =[u_1,\cdots,u_n]$

$$\mathcal L(\mathbf u,\lambda):= \mathcal W(\mathbf u) + \rho \lambda^T \,c(\mathbf u) + \frac{\rho}{2} c^2(\mathbf u)$$

Donc en général Le but à chaque itération de Newton est de résoudre un problème de la forme Avec (on laisse tomber la toile de jute de la contrainte) A ( u , ρ ) : = ∇ 2 u W ( u ) + ρ C T ( u ) C ( u ) et b ( u , ρ ) : = - ( ∇ u W ( u ) +

$$A \Delta u = b$$ $$A(\mathbf u,\rho): = \nabla_{\mathbf u}^2 \mathcal W(\mathbf u) + \rho C^T(\mathbf u)C(\mathbf u)$$ et le C majusculeest destiné à C ( u ) : = ∇ u c ( u ) . $$b(\mathbf u,\rho) :=- \big(\nabla_{\mathbf u}\mathcal W(\mathbf u) +(\rho +\lambda^Tc(\mathbf u)) \nabla_{\mathbf u}(\mathbf u)\big)$$ $C$$C(\mathbf u) := \nabla_{\mathbf u} c(\mathbf u)$

Je vous remercie.

Selon la structure du problème, vous pouvez résoudre directement le système Lagrangien Augmenté mal conditionné. Par exemple, BDDC / FETI-DP peut résoudre une élasticité presque incompressible sous forme primitive avec un taux de convergence indépendant du coefficient de Poisson (constante par morceaux sur les sous-domaines, mais avec des sauts arbitraires). De même, les méthodes multigrilles qui reproduisent exactement le mode volumétrique peuvent avoir cette propriété. De telles méthodes sont spécifiques au problème et, en général, de lourdes sanctions entraînent des systèmes difficiles à conditionner.

Pour permettre plus de flexibilité dans le choix du préconditionneur, je recommande d'introduire des variables doubles explicites et d'écrire le plus grand système de points de selle

$$\begin{pmatrix}A & C^T \\ C & -\rho^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 0 \end{pmatrix}$$

$A - \tilde\rho C^T C$$\tilde \rho \le \rho$$-\rho^{-1} - C A^{-1} C^T$PCFIELDSPLIT

Si vous pouvez être plus précis sur la source de votre problème (qu'est-ce que vous minimisez et quelle est la contrainte), je pourrai peut-être suggérer des références plus spécifiques.

Introduisez des variables supplémentaires pour les termes gâtés dans la condition KT, et vous pouvez trouver un système symétrique plus grand qui se comporte bien numériquement, avec seulement l'inverse du facteur de pénalité entrant dans la matrice.

$(A+\rho C^TC)x=b~$$\rho$$y=\rho Cx$$Ax+C^Ty=b$$Cx-\rho^{-1}y=0$