Schéma de différence finie pour «équation d'onde», méthode des caractéristiques

Considérons le problème suivant où le terme de forçage peut dépendre de (voir Édition 1 ci-dessous pour la formulation) et et ses premières dérivées. Il s'agit d'une équation d'onde 1 + 1 dimensionnelle. Nous avons des données initiales prescrites à .

W_{u v} = F

$W_{uv} = F$

u, v

$u,v$

W

$W$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

Je m'intéresse à la solution dans le domaine de la dépendance d'un intervalle et je considère le schéma de différence finie suivant.

{u + v = 0, u \in [- u_{M}, u_{M}]}

$\{ u+v = 0, u \in [- u_M,u_M]\}$

Le but est d'évoluer par et de même . Ce schéma est intégrable dans le sens où $W_u$ $W_u(u,v+1) - W_u(u,v) = F(u,v)$ $W_v(u+1,v) - W_v(u,v) = F(u,v)$ $W (u, v) + W_{u} (u, v) + W_{v} (u + 1, v) = W (u + 1, v + 1) = W (u, v) + W_{v} (u, v) + W_{u} (u, v + 1)$ $W(u,v) + W_u(u,v) + W_v(u+1,v) = W(u+1,v+1) = W(u,v) + W_v(u,v) + W_u(u,v+1)$ je peux donc calculer de manière cohérente partir des données initiales en intégrant vers le haut; par conséquent, je n'ai vraiment besoin que de regarder les équations d'évolution pour et . $W$ $W_v$ $W_u$
Pour les données initiales, nous avons besoin de la condition de compatibilité . Ce qui suggère que je peux calculer les données initiales en utilisant la différence finie avant (en ) de sur le temps initial avec les valeurs de $W_u(u,v) - W_v(u+1,v-1) = W(u+1,v-1) - W(u,v)$ $u$ $W$ $W_t$ aux points demi-entiers . $(u+0.5,v-0.5)$

Question :

Est-ce un schéma bien connu? En particulier, où puis-je trouver une analyse de ce schéma?
Y a-t-il une chose évidente à surveiller?

Contexte : Imaginez que je ne connais presque rien (ce qui est probablement vrai, car je suis un pur mathématicien qui essaie d'apprendre un peu la machinerie de calcul).

Edit 1 : Juste pour clarifier (pour répondre à certains commentaires): l'équation en coordonnées serait et et sont des «coordonnées nulles» données par (jusqu'à certains facteurs de renormalisation de 2) et . Ainsi, les données initiales à sont en fait à . $x$ $t$

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt} - W_{xx} = F$

u

$u$

v

$v$

u = t + x

$u = t+x$

v = t - x

$v = t-x$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

{t = 0}

$\{t = 0\}$

$(t,x)$ $(u,v)$ $(t,x)$ $t,x$ $u,v$ $t$ $x$

finite-difference reference-request hyperbolic-pde

— Willie Wong
source

Je suis un peu confus par vos indices, mais cela me semble être une sorte de formulation dans le domaine temporel à différence finie . . . peut-être avec une formulation maillée décalée (demi-indices?).

— meawoppl

u, v

$u,v$

x, t

$x,t$

u, v

$u,v$

45^{\circ}

$45^\circ$

x, t

$x,t$

J'ai édité pour clarifier (l'explication de Wolfgang Bangerth est ce que j'avais en tête).

— Willie Wong

Réponses:

Il existe certainement de la littérature sur des projets comme celui-ci. Deux mots clés sont

Méthode modifiée des caractéristiques
Schémas semi-lagrangiens

Après 20 minutes de recherche sur Google: certains articles potentiellement importants sont http://dx.doi.org/10.1137/0719063 et http://dx.doi.org/10.1137/0728024 (recherche à partir de là). Ce ne sont probablement pas les meilleures références, mais elles devraient être un point de départ pour vous mettre dans la bonne littérature.

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt}-W_{xx} = F$

u = t + x, v = t - x .

$u = t+x, \ \ \ \ v = t-x.$ , tous deux précis au premier ordre.

$F=0$ $F$ $F=0$ $F$ $F$ a des valeurs propres purement imaginaires, le schéma sera instable.

L'approche générale de discrétisation de la réduction d'un PDE à un système d'ODE (comme dans votre méthode) est connue comme la méthode des lignes. Comme pour toute méthode de discrétisation de lignes, vous pouvez augmenter l'ordre de précision en utilisant un solveur ODE d'ordre supérieur et vous pouvez améliorer la stabilité en utilisant un solveur ODE implicite approprié (avec l'augmentation correspondante du coût de calcul par étape).

— David Ketcheson
source

"mais Google vous aidera davantage" En fait, c'est l'un des gros problèmes. Je ne sais pas exactement pour quoi Google (je soupçonne que la littérature numérique peut utiliser des termes différents de la littérature pure). Si vous pouvez suggérer des mots clés à rechercher, je vous en serais reconnaissant. ("La méthode des lignes", par exemple, me pointe vers une véritable richesse d'informations [peut-être même un peu trop pour que je puisse filtrer :-)].)

— Willie Wong

@WillieWong - Une référence pour les équations hyperboliques que nous citons couramment est les méthodes de volume fini de LeVeque pour les problèmes hyperboliques . Je ne sais pas si c'est la bonne référence pour commencer, mais cela vous fournira au moins une introduction aux termes et techniques dans le domaine.

— Aron Ahmadia

D'accord, j'ai ajouté quelques mots clés et références. J'espère qu'ils vous aideront.

— David Ketcheson

Merci beaucoup pour les références! Cela m'a donné un bon départ.

— Willie Wong

Partant de l'endroit où David Ketcheson m'a laissé dans sa réponse, un peu plus de recherche a révélé quelques notes historiques.

Le schéma que j'ai décrit ci-dessus a déjà été envisagé en 1900 par J. Massau, dans Mémoire sur l'intégration graphique des équations aux dérivées partielles . L'ouvrage est réédité en 1952 par G. Delporte, Mons.

La première (quoique brève) analyse moderne de sa convergence et telle a été donnée par Courant, Friedrichs et Lewy dans leur article classique de 1928 en mathématiques. Ann.

— Willie Wong
source

Wow, je ne peux pas croire que je n'avais pas réalisé que c'était dans le journal de la LCF ...

— David Ketcheson