Plusieurs bonnes réponses ont déjà indiqué que les avantages des méthodes d'éléments finis étant flexibles et puissants, je donnerai ici un autre avantage de FEM, du point de vue de l'espace et de la géométrie différentielle de Sobolev, est que la possibilité qu'un espace d'éléments finis hérite de la condition de continuité physique du Sobolev espaces où la vraie solution réside.
Par exemple, l’élément facial Raviart-Thomas pour l’élasticité plane et la méthode mixte pour la diffusion; Élément de bord Nédélec pour électromagnétisme informatique.
Normalement, la solution d’une EDP, qui est une forme différentielle située dans l’ espace "énergie ingérable":
où est le dérivé extérieur, et nous pourrions construire la cohomologie de Rham autour de cet espace , ce qui signifie que nous pourrions construire une séquence de Rham exacte comme celle-ci dans l’espace 3D:kL2
HΛk={ω∈Λk:ω∈L2(Λk),dω∈L2(Λk)}
d
R3−→idH(grad,Ω)−→∇H(curl,Ω)−→−∇×H(div,Ω)−→∇⋅L2(Ω)
la plage de l'opérateur est l'espace nul de l'opérateur suivant, et il existe de nombreuses propriétés intéressantes à ce sujet. Si nous pouvions créer un espace d'éléments finis pour hériter de cette séquence exacte de Rham, la méthode de Galerkin basée sur cet espace d'éléments finis être stable et convergera vers la solution réelle. Et nous pourrions obtenir la propriété de stabilité et d’approximation de l’opérateur d’interpolation simplement par le diagramme de commutation de la séquence de Rham, puis construire la procédure d’estimation d’erreur a posteriori et d’affinage de maillage adaptatif à partir de cette séquence.
Pour en savoir plus, consultez l'article de Douglas Arnold dans Acta Numerica: "
Calcul extérieur par éléments finis, techniques homologiques et applications " et une diapositive présentant brièvement l'idée.