Pourquoi la dimension temporelle est-elle spéciale?

De manière générale, j'ai entendu des analystes numériques exprimer l'opinion que

"Bien sûr, mathématiquement parlant, le temps n'est qu'une autre dimension, mais quand même, le temps est spécial"

Comment justifier cela? Dans quel sens le temps est-il spécial pour la science informatique?

De plus, pourquoi préférons-nous si souvent utiliser des différences finies, (conduisant au "time-stepping"), pour la dimension temps, alors que nous appliquons des différences finies, éléments finis, méthodes spectrales, ..., pour les dimensions spatiales? Une raison possible est que nous avons tendance à avoir un IVP dans la dimension temporelle et un BVP dans les dimensions spatiales. Mais je ne pense pas que cela le justifie pleinement.

La causalité indique que l'information ne circule que dans le temps et que des algorithmes devraient être conçus pour exploiter ce fait. Les schémas de pas de temps le font, contrairement aux méthodes spectrales globales dans le temps ou à d'autres idées. La question est bien sûr pourquoi tout le monde insiste pour exploiter ce fait - mais c'est facile à comprendre: si votre problème spatial a déjà un million d'inconnues et que vous devez faire 1000 pas de temps, alors sur une machine typique aujourd'hui, vous avez suffisamment de ressources pour résoudre le problème spatial en lui-même un pas après l'autre, mais vous n'avez pas suffisamment de ressources pour faire face à un problème couplé de inconnues.$10^9$

La situation n'est pas vraiment très différente de ce que vous avez avec les discrétisations spatiales des phénomènes de transport. Bien sûr, vous pouvez discrétiser une équation d'advection 1d pure en utilisant une approche couplée globalement. Mais si vous vous souciez de l'efficacité, la meilleure approche est de loin d'utiliser un balayage en aval qui transporte les informations de l'entrée à la partie de sortie du domaine. C'est exactement ce que font les schémas pas à pas dans le temps.

Semblable à la causalité que Wolfgang a mentionnée dans son article, nous avons pu voir la raison pour laquelle la dimension temporelle est spéciale du point de vue de l'espace-temps de Minkowski:$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

L' espace-temps dimensionnel a un produit intérieur défini comme ( A , B ) = A x B x + A y B y + A z B z - $(3+1)$ siAetBsont deux formes 1 dans l'espace-temps de Minkowski: A=Axdx+Aydy+Azdz+Atdt,

$c$$(3+1)$

Peut-être hors sujet, mais une autre différence majeure entre l'espace et l'espace-temps (elliptique vs hyperbolique) est que la plupart des équations elliptiques modélisent l'équilibre et l'ellipticité nous donne une régularité "agréable", alors qu'il existe toutes sortes de discontinuités dans les problèmes hyperboliques (choc, raréfaction, etc).

EDIT: Je ne sais pas s'il y a un article dédié sur la différence autre que de vous donner la définition, basée sur ce que j'ai appris auparavant, l'équation elliptique typique comme l'équation de Poisson ou l'élasticité, modélise un phénomène statique, a une solution "lisse" si les données et les limites du domaine d'intérêt sont "lisses", cela est dû à l'ellipticité (ou plutôt à la propriété définie positive) de l'opérateur différentiel régissant, ce type d'équations nous conduit à une approche de type Galerkin très intuitive (multiplier une fonction de test et l'intégration par pièces), l'élément fini continu typique fonctionne bien. Des choses similaires s'appliquent à l'équation parabolique comme l'équation de la chaleur, qui est essentiellement une équation elliptique marchant dans le temps, a une propriété de "lissage" similaire, un coin pointu initial sera lissé au fil du temps,

Car un problème hyperbolique, normalement dérivé d'une loi de conservation, est «conservateur» ou «dispersif». Par exemple, l'équation d'advection linéaire, décrivant les flux de certaines quantités avec un champ vectoriel, conserve la façon dont cette quantité spécifique est comme initialement, juste elle se déplace dans l'espace le long de ce champ vectoriel, les discontinuités se propagent. L'équation de Schrodinger, une autre équation hyperbolique, cependant, est dispersive, c'est la propagation d'une quantité complexe, un état initial non oscillatoire deviendra des paquets d'ondes oscillatoires différents avec le temps.

Comme vous l'avez mentionné "pas à pas", vous pourriez penser que la quantité "coule" dans les "champs" temporels avec une certaine vitesse comme causalité, très similaire à l'équation d'advection linéaire BVP, nous n'avons qu'à imposer la condition aux limites d'entrée, c'est-à-dire à quoi ressemble la quantité lors de son entrée dans le domaine d'intérêt, et la solution nous dirait à quoi ressemble la quantité lors de sa sortie, une idée très similaire à chaque méthode qui utilise le pas de temps. Résoudre une équation d'advection 2D dans l'espace, c'est comme résoudre un problème de propagation unilatéral 1D dans l'espace-temps. Pour les schémas numériques, vous pouvez rechercher sur Google l'espace-temps FEM.

Bien qu'il y ait quelques exceptions (par exemple les méthodes par éléments finis entièrement discrètes), la discrétisation temporelle implique généralement une dépendance intrinsèquement séquentielle dans le flux d'informations. Cette dépendance restreint les algorithmes semi-discrets (BVP dans l'espace, IVP dans le temps) pour calculer les solutions aux sous-problèmes de manière séquentielle. Cette discrétisation est généralement préférée pour sa simplicité et parce qu'elle offre à l'analyste de nombreux algorithmes bien développés pour une plus grande précision à la fois dans l'espace et dans le temps.

Il est possible (et plus simple) d'utiliser également des différences finies dans les dimensions spatiales, mais les méthodes par éléments finis offrent une flexibilité plus facile dans le type de domaine d'intérêt (par exemple les formes non régulières) que les méthodes par différences finies. Un «bon» choix de discrétisation spatiale est souvent très dépendant du problème.