Utilité des éléments dont la stabilité dépend du maillage

Après avoir fait quelques mathématiques liées à la stabilité des éléments dans le problème de Stokes 3D, j'ai été légèrement choqué de réaliser que n'est pas stable pour un maillage tétraédrique arbitraire. Plus précisément, si vous avez un élément où tous les nœuds et trois facettes sur quatre se trouvent à la frontière du domaine avec une condition de Dirichlet, vous finissez par obtenir une matrice singulière. C'est en fait assez trivial à conclure de la forme faible du système de Stokes. $P_2-P_1$

J'ai testé le seul code Stokes commercial auquel j'ai accès (COMSOL) et cela m'a permis de créer un tel maillage. En cliquant sur résoudre, j'obtiens «Erreur: matrice singulière» comme prévu. (J'ai l'impression que COMSOL utilise pour son module de débit rampant.) $P_2-P_1$

Pour tester davantage que le problème n'était pas lié à d'autres configurations, j'ai essayé le maillage suivant et tout fonctionne comme prévu.

Questions: Ce type de contrainte est-il pris en compte dans les générateurs de maillage (adaptatifs ou non adaptatifs)? Je constate dans divers articles de recherche que cet élément semble être très populaire. Ces types d'instabilités aux limites sont-ils généralement négligés comme insignifiants lors du choix d'une méthode à utiliser? Plus important encore, qu'est-ce que cela signifie vraiment d'avoir un élément fini stable , c'est-à-dire, quel genre d'instabilités dépendant du maillage sont trop pour que nous concluions que la méthode est mauvaise?

stability navier-stokes unstructured-mesh

— knl
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Question interessante! Pour autant que je vois, ces éléments résultent généralement de la génération de maillage tétraédrique structuré sur des cubes et autres et ne jouent qu'un rôle mineur dans les applications réelles où vous avez des algorithmes de nodalisation non structurés. J'ai essayé un peu il y a quelque temps et je n'ai pas pu produire un tel maillage avec un générateur de maillage produisant des maillages totalement non structurés. Je soupçonne qu'ils utilisent un mécanisme pour éviter de tels éléments trop contraints. Je n'ai pas accès à COMSOL mais je suppose que pour la plupart des solveurs, ces éléments ne posent pas de problème significatif.

— Christian Waluga

Je me demande si c'est aussi un problème avec l'élément MINI?

— Daniel Shapero

(\nabla \cdot v, p) = 0 \forall v \in V_{h} \Rightarrow p = global const.

$(\nabla\cdot v, p)=0~\forall v \in V_h \Rightarrow p =\text{global const.}$

p (x, y) = a + b x + c y

$p(x,y)=a+bx+cy$

v = (b ϕ, c ϕ)

$v=(b\phi,c\phi)$

ϕ

$\phi$

p

$p$

$p$ $p$

Les générateurs de maillage ont généralement une option pour gérer cela, par exemple le générateur bamgde maillage 2D freefem++a une -splitpbedgeoption qui ajoute un nœud au milieu de n'importe quelle arête ayant les deux extrémités sur la frontière. Selon la bamgdocumentation, la génération de maillage non structuré peut renvoyer de tels triangles.

— Joce
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Êtes-vous sûr que c'est le cas, par exemple, de Taylor-Hood dans 2D Stokes? Mon intuition me dit que le DOF lié au bord y sauve la situation. Dans 3D Taylor-Hood, il n'y a pas de DOF lié à la facette et donc l'instabilité se produit.

— knl

Tu as raison, ça peut être le cas. Je pense que la preuve de Verfuhrt de la condition inf-sup pour Taylor-Hood est suffisamment constructive pour vérifier cela, mais pas de temps en ce moment.

— Joce