En FEM, pourquoi la matrice de rigidité positive est-elle définie?

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Dans les classes FEM, il est généralement tenu pour acquis que la matrice de rigidité est définie positive, mais je ne comprends tout simplement pas pourquoi. Quelqu'un pourrait-il donner une explication?

Par exemple, nous pouvons considérer le problème de Poisson: dont la matrice de rigidité est: qui est symétrique et positif défini. La symétrie est une propriété évidente, mais la définition positive n'est pas aussi explicite pour moi.

- \nabla^{2} u = f,

$-\nabla^2 u = f,$

K_{i j} = \int_{Ω} \nabla φ_{i} \cdot \nabla φ_{j} d Ω,

$K_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, d\Omega,$

finite-element matrix stiffness

— user123
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Cela dépend en fait de l'équation différentielle partielle que vous essayez de résoudre. Pouvez-vous ajouter celui qui vous intéresse?

— Christian Clason

Bonjour, @ChristianClason, merci pour votre commentaire. J'ai ajouté un exemple concret de ce problème.

— user123

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Avertissement: sans conditions aux limites, la matrice de rigidité du système complet, telle qu'elle est assemblée à partir de matrices d'éléments, n'a pas de rang complet, car elle doit mapper l'équivalent des mouvements de corps rigides à des forces nulles. Ainsi, la matrice de rigidité complète peut au mieux être semi-définie positive. Cependant, avec des conditions aux limites appropriées, les mouvements de corps rigides sont désactivés et le système contraint est alors non singulier. (Sinon, on ne pourrait pas le résoudre). Par conséquent, pour trouver une définition positive réelle, vous devez regarder la matrice condensée résultant de l'application des conditions aux limites.

— ccorn

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La propriété découle de la propriété de l'équation différentielle partielle correspondante (forme faible de); c'est l'un des avantages des méthodes par éléments finis par rapport, par exemple, aux méthodes par différences finies.

Pour voir cela, rappelons d'abord que la méthode des éléments finis part de la forme faible de l'équation de Poisson (je suppose ici les conditions aux limites de Dirichlet): Trouvez tel qu'un La propriété importante ici est qu’un (Cela découle de l'inégalité de Poincaré.) $u\in H^1_0(\Omega)$

a (u, v) := \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = \int_{Ω} f v d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) .

$a(u,v):= \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega fv\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega).$

\begin{matrix} (1) & a (v, v) = ‖ \nabla v ‖_{L^{2}}^{2} \geq c ‖ v ‖_{H^{1}}^{2} for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}

$a(v,v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 \geq c \|v\|_{H^1}^2 \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega). \tag{1}$

Maintenant, l'approche par éléments finis classique consiste à remplacer l'espace de dimension infinie par un sous-espace de dimension finie et à trouver telle sorte La propriété importante ici est que vous utilisez le même et un sous-espace (une discrétisation conforme ); cela signifie que vous avez toujours $H^1_0(\Omega)$ $V_h\subset H^1_0(\Omega)$ $u_h\in V_h$

\begin{matrix} (2) & a (u_{h}, v_{h}) := \int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v_{h} d x = \int_{Ω} f v_{h} d x for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(u_h,v_h):= \int_\Omega \nabla u_h\cdot \nabla v_h \,dx = \int_\Omega fv_h\,dx \qquad\text{for all }v_h\in V_h.\tag{2}$

a

$a$

V_{h} \subset H_{0}^{1} (Ω)

$V_h\subset H^1_0(\Omega)$

\begin{matrix} (3) & a (v_{h}, v_{h}) \geq c ‖ v_{h} ‖_{H^{1}}^{2} > 0 for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(v_h,v_h) \geq c \|v_h\|_{H^1}^2 >0 \qquad\text{for all }v_h\in V_h. \tag{3}$

Maintenant, pour la dernière étape: Pour transformer la forme variationnelle en un système d'équations linéaires, vous choisissez une base de , écrivez et insérez , dans . La matrice de rigidité alors les entrées (qui coïncide avec ce que vous avez écrit). $\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$ $V_h$ $u_h =\sum_{i=1}^N u_i\varphi_i$ $v_h=\varphi_j$ $1\leq j\leq N$ $(2)$ $K$ $K_{ij}=a(\varphi_i,\varphi_j)$

Prenez maintenant un vecteur arbitraire et définissez . Ensuite, nous avons par et la bilinéarité de (c'est-à-dire que vous pouvez déplacer des scalaires et des sommes dans les deux arguments) Comme était arbitraire, cela implique que est défini positif. $\vec v=(v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$ $v_h:=\sum_{i=1}^Nv_i \varphi_i\in V_h$ $(3)$ $a$

{\vec{v}}^{T} K \vec{v} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} v_{i} K_{i j} v_{j} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} a (v_{i} φ_{i}, v_{j} φ_{j}) = a (v_{h}, v_{h}) > 0.

$\vec v^T K \vec v = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N v_iK_{ij} v_j = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a(v_i\varphi_i,v_j\varphi_j) = a(v_h,v_h) >0.$

\vec{v}

$\vec v$

K

$K$

TL; DR: La matrice de rigidité est définie positive car elle provient d'une discrétisation conforme d'une équation différentielle partielle elliptique (auto-adjointe) .

— Christian Clason
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Si la rigidité de l'élément n'est pas positive, le système n'est pas stable. Le modèle n'est donc probablement pas correct. Regardez l'équation la plus élémentaire de l'oscillateur harmonique

m x^{″} (t) + k x (t) = f (t)

$m x''(t) + k x(t) = f(t)$

La solution est instable si est négatif (regardez les racines de l'équation caractéristique). Cela signifie que la solution va exploser. La rigidité doit être une force de rappel. Au moins pour un ressort physique. La matrice de rigidité étend cela à un grand nombre d'éléments (matrice de rigidité globale). C'est tout. Mais c'est la même idée de base. La base MEF est dans la méthode de la matrice de rigidité pour l'analyse structurelle où chaque élément a une rigidité qui lui est associée. $k$

— Nasser
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