Comment se sent la faible convergence, numériquement?

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Considérez, vous avez un problème dans un espace Hilbert ou Banach de dimension infinie (pensez à un PDE ou un problème d'optimisation dans un tel espace) et vous avez un algorithme qui converge faiblement vers une solution. Si vous discrétisez le problème et appliquez l'algorithme discrétisé correspondant au problème, alors une convergence faible est une convergence dans toutes les coordonnées et donc également forte. Ma question est:

Ce type de convergence forte semble-t-il ou semble-t-il différent de la convergence obtenue à partir d'une bonne vieille convergence forte simple de l'algorithme infini original?

Ou, plus concret:

Quel genre de mauvais comportement peut se produire avec une "méthode discrétisée de convergence faible"?

Moi-même, je ne suis généralement pas tout à fait satisfait quand je ne peux prouver qu'une faible convergence, mais jusqu'à présent, je n'ai pas pu observer de problème avec le résultat des méthodes même si j'élargis le problème discrétisé à des dimensions plus élevées.

Notez que je ne suis pas intéressé par le problème "première discrétisation avant optimisation" vs "première optimisation que discrétisation" et je suis conscient des problèmes qui peuvent survenir si vous appliquez un algorithme à un problème discrétisé qui ne partage pas toutes les propriétés avec le problème. pour lequel l'algorithme a été conçu.

Mise à jour: à titre d'exemple concret, considérons un problème d'optimisation avec une variable dans et le résoudre avec quelque chose comme (une inertie) avant-arrière fractionnement ou une autre méthode pour laquelle seule une faible convergence dans est connue. Pour le problème discrétisé, vous pouvez utiliser la même méthode et avec la discrétisation correcte, vous obtenez le même algorithme que si vous avez discrétisé l'algorithme directement. Qu'est-ce qui peut mal tourner lorsque vous augmentez la précision de discrétisation? $L^2$ $L^2$

algorithms convergence

— Poignard
source

À quel type de méthode pensez-vous où la convergence est analysée avant que le problème de dimension infinie ne soit discrétisé? Vous mentionnez l'optimisation, pensez-vous donc principalement aux problèmes d'optimisation contraints par PDE, ou y a-t-il autre chose?

— Bill Barth

Outre l'optimisation PDE, j'ai à l'esprit des problèmes de variation géométrique (par exemple, surfaces minimales) et d'imagerie (par exemple, débruitage TV, segmentation Mumford-Shah).

— Dirk

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Il est vrai que la faible convergence est la plus cruciale dans la limite du continuum comme (par exemple, en ne pouvant observer aucun taux de convergence). Au moins dans les espaces de Hilbert, il est également étroitement lié à la non-unicité de la limite et donc uniquement à la convergence subséquente (par exemple, où vous pouvez alterner entre approcher différents points limites, détruire à nouveau les taux), et il est difficile de séparer l'influence de les deux sur la convergence. $h\to 0$

Spécifiquement pour une faible convergence dans , vous avez également le fait que la convergence n'a pas besoin d'être ponctuelle, et cela vous pouvez en fait observer dans une discrétisation (suffisamment fine). Voici un exemple d'une séquence de minimiseursqui converge commevers où la convergence est faible mais pas ponctuelle sur $L^2$ $\{u_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ $\varepsilon\to 0$

u (x) = {\begin{cases} - 1 & x < \frac{1}{3} \\ 0 & x \in [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ 1 & x > \frac{2}{3} \end{cases}

$u(x) = \begin{cases} -1 & x<\frac13 \\ 0 &x\in [\frac13,\frac23] \\ 1 &x>\frac23\end{cases}$

[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]

$[\frac13,\frac23]$ (mais ponctuellement presque partout ailleurs). Les figures suivantes montrent trois éléments représentatifs de la séquence (pour déjà assez petit).

ε

$\varepsilon$

convergence faible 1 faible convergence 2 faible convergence 3

Ce phénomène est connu sous le nom de "scintillement" dans l'approximation des problèmes de contrôle bang-bang pour les équations différentielles (c.-à-d. Les problèmes de contraintes de boîte où la solution atteint presque partout la limite inférieure ou supérieure).

— Christian Clason
source

Excellent exemple! Cependant, je n'ai pas compris à quel point la faible convergence est liée à la non-unicité. En général, on ne peut pas mettre à niveau une convergence faible vers une convergence forte lorsque la limite est unique, non? Mais d'accord, on n'a souvent qu'une faible convergence et non-unicité.

— Dirk

Désolé, c'était mal formulé; Je ne voulais pas dire que c'est toujours le cas. J'avais à l'esprit des problèmes où vous obtenez généralement la convergence de la norme aussi, donc tant que vous avez une convergence de la séquence complète, vous pouvez "passer" à une forte convergence (c'est-à-dire que la seule chose qui peut empêcher une forte convergence est la convergence subséquente ).

— Christian Clason

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La question que vous posez n'est souvent pas très préoccupante sur le plan pratique car une faible convergence dans une norme peut impliquer une forte convergence dans une autre, pour la même séquence de solutions.

$u$ $H^2$ $u_h$ $H^1$ $u_h \rightarrow u$ $L_2$ $H^1$ $h\rightarrow 0$ $\|u-u_h\|_{L_2} \le Ch^2$ $\|u-u_h\|_{H^1} \le Ch$ .

Mais il est clair que nous ne pouvons pas nous attendre à fortement dans car les ne sont que dans . Mais nous pourrions avoir faiblement dans (en fait, je pense que cela est ). Cela impliquerait alors probablement une instruction telle que $u_h \rightarrow u$ $H^2$ $u_h$ $H^1$ $u_h \rightharpoonup u$ $H^2$

⟨ \nabla^{2} (u - u_{h}), \nabla^{2} v ⟩ \leq o (1) \forall v \in H^{2} .

$\left< \nabla^2 (u-u_h), \nabla^2 v\right> \le {\cal o}(1) \qquad \forall v \in H^2.$

Le fait est que la question de la convergence faible vs forte est généralement une question de quelle norme vous regardez, et non une propriété de la séquence de solutions que vous obtenez de votre méthode.

— Wolfgang Bangerth
source

C'est vrai, mais à un moment donné, la norme devient trop faible pour être pratiquement utile (par exemple, lorsque vous n'avez qu'une faible convergence dans , ce qui pourrait impliquer une forte convergence dans les normes Sobolev négatives, qui ne sont pas localisables).

L^{2}

$L^2$

— Christian Clason

@ChristianClason, pouvez-vous nous dire à quoi cela ressemble quand une telle méthode est discrétisée. Travaillent-ils? Etc?

— Bill Barth

Le cas auquel je pensais est celui où la norme discrétisée se rapproche en fait de la norme dans laquelle seule une faible convergence se produit (généralement ).

L^{2}

$L^2$

— Dirk