La méthode des lignes peut-elle être utilisée pour discrétiser tous les PDE?

J'ai trouvé que la méthode des lignes est une façon très naturelle de penser à la discrétisation des PDE. Par conséquent, je suis toujours par défaut à cet état d'esprit lorsqu'il est présenté avec un nouvel ensemble d'équations. Je n'ai jamais vu un PDE où cela ne fonctionnerait pas.

Ce que je me demande, c'est s'il existe des méthodes de discrétisation (ou des types de PDE) qui ne peuvent pas être formulées par la méthode des lignes. Je m'attends à ce que tout PDE où la dérivée temporelle soit implicite dans l'équation et ne peut pas être résolu serait un de ces cas (bien que je ne connaisse aucun exemple réel de cela). Je cherche un raisonnement pour expliquer pourquoi la méthode des lignes est toujours applicable ou un contre-exemple.

Une situation dans laquelle l'approche habituelle de la méthode des lignes ne peut pas être utilisée de manière simple est avec des équations qui ont des dérivées spatio-temporelles mixtes. Par "approche habituelle de la méthode des lignes", j'entends la discrétisation des dérivées spatiales suivie par application d'une méthode Runge-Kutta ou linéaire en plusieurs étapes. Cela ne s'applique généralement qu'aux systèmes de PDE d'évolution de premier ordre (dans le temps).

Un exemple d'équations avec de tels dérivés mixtes est l'Eq. (2.1) de http://epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/060676064 .

Dans au moins certains cas, il est possible de réécrire de telles équations en tant que systèmes PDE d'évolution du premier ordre, mais je ne vois pas immédiatement un moyen de le faire ici. Il peut y avoir d'autres astuces pour appliquer la méthode des lignes à de telles équations, mais je ne les connais pas.