Je sais que nous pouvons utiliser des techniques d'analyse mathématique pour prouver si un IVP ou BVP a une solution, est unique et dépend continuellement des limites / valeurs initiales. Pour certains PDE, en particulier les pde non linéaires, il est très difficile, voire impossible, de prouver la bonne pose. Existe-t-il une sorte de technique numérique pour vérifier si un problème est bien posé ou non?
Peut-on utiliser un schéma numérique pour déterminer le bien-posé d'un problème de valeur initiale ou limite?
Réponses:
En général, non. Une solution numérique peut parfois être utilisée comme mesure grossière pour indiquer si les conditions aux limites sont suffisantes, pour identifier des domaines "flottants" par exemple, mais il existe de nombreux cas où des solutions discrètes vous donnent des informations carrément trompeuses sur le problème du continuum.
L'advection-diffusion nécessite une condition aux limites sur toutes les frontières, mais les systèmes discrets ne peuvent utiliser aucune condition aux limites à l'écoulement (pas une condition Neumann homogène, je veux dire vraiment aucune condition aux limites). Non seulement cela, c'est plus précis que la représentation discrète de la condition aux limites du continuum. Voir Papanastasiou, Malamataris et Ellwood 1992 et Griffiths 1997 pour plus de détails. Une condition aux limites similaire est également importante pour le glissement sur des surfaces courbes, voir Behr 2004 .
Le "phénomène de l'escarboucle" affecte certaines méthodes d'écoulement compressible. Il n'est pas très bien compris, mais des schémas numériques apparemment robustes peuvent converger vers des solutions erronées. Un exemple de Robinet et al. 2000
Solutions parasites aux Navier-Stokes incompressibles, dans un régime laminaire. Un exemple simple de cavité entraînée par le couvercle est donné dans Schreiber et Keller 1983 .
Systèmes de lois de conservation hyperboliques avec taille relative non physique de dissipation numérique. Une certaine dissipation numérique est toujours requise, mais sinon des méthodes robustes (par exemple Godunov) peuvent systématiquement converger vers des résultats incorrects si la dissipation numérique finit par être non physique. Un exemple simple est donné dans Mishra et Spinolo 2011où la méthode Godunov standard converge vers un résultat incorrect pour l'eau peu profonde linéarisée 1D. Cela se présente sous une forme plus profonde dans une grande simulation de tourbillon. La viscosité des tourbillons est une manifestation physique des échelles des sous-grilles, mais si la dissipation numérique (inévitable) est supérieure à la dissipation physique, la simulation peut converger vers des résultats systématiquement incorrects. En pratique, les fermetures de sous-grille pour la viscosité des tourbillons sont très importantes. Il s'agit de prendre une limite singulière le long du chemin (physique) correct.
Effets de verrouillage en élasticité ou en damier en flux incompressible. Celles-ci sont dues au choix d'un espace d'approximation instable et sont désormais très bien comprises, au moins pour les problèmes linéaires, mais s'appuyer sur une solution numérique pour déduire une bonne pose pourrait vous amener à conclure que la limite incompressible était mal posée.